Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng \[1\]. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh dấu \[1, 2, 3, ..., n, ...\] trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó [h.51]
Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.
LG a
Gọi \[u_n\] là diện tích của hình vuông màu xám thứ \[n\]. Tính \[u_1, u_2, u_3\] và \[u_n\].
Phương pháp giải:
Tính diện tích của hình vuông \[S=a^2\] với \[a\] là cạnh của hình vuông.
Lời giải chi tiết:
Do hình vuông lớn có cạnh bằng 1, hình vuông màu xám thứ nhất có cạnh bằng một nửa cạnh hình vuông lớn nên:
Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng\[\dfrac{1}{2}\]nên\[{u_1} = {\left[ {\dfrac{1}{2}} \right]^2} = \dfrac{1}{4^1}\].
Hình vuông thứ hai có cạnh bằng\[\dfrac{1}{4}\]nên \[\displaystyle{u_2} = {\left[ {{1 \over 4}} \right]^2} = {1 \over {{4^2}}}\].
Hình vuông thứ ba có cạnh bằng\[\dfrac{1}{8}\]nên \[\displaystyle{u_3} = {\left[ {{1 \over 8}} \right]^2} = {1 \over {{4^3}}}\]
Tương tự, ta có \[u_n=\dfrac{1}{4^{n}}\]
LG b
Tính \[\lim S_n\]với \[S_n={u_{1}} + {u_{2}} + {u_{3}} + ... + {u_{n}}\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn\[S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\,\,\left[ {\left| q \right| < 1} \right]\].
Lời giải chi tiết:
Dãy số \[[u_n]\]là một cấp số nhân lùi vô hạn với \[u_1=\dfrac{1}{4}\] và \[q = \dfrac{1}{4}\].Do đó
\[\lim S_n=\dfrac{u_{1}}{1-q}= \dfrac{\dfrac{1}{4}}{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{3}\].