Đề bài
Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ \[Ox, Oy\] và đi qua điểm \[M[2;1].\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm \[I\] của nó phải cách đều hai trục tọa độ.
Đường tròn này lại đi qua điểm \[M[2;1]\], mà điểm \[M\] này lại là góc phần tư thứ nhất nên tọa độ của tâm \[I\] phải là số dương:\[x_I=y_I>0.\]
Lời giải chi tiết
Gọi đường tròn cần tìm là [C] có tâm \[I[a ; b]\] và bán kính bằng R.
[C] tiếp xúc với Ox R = d[I ; Ox] = |b|
[C] tiếp xúc với Oy R = d[I ; Oy] = |a|
|a| = |b|
a = b hoặc a = b.
Mà [C] đi qua \[M[2;1]\] thuộc góc phần tư thứ nhất nên đường tròn nằm hoàn toàn ở góc phần tư thứ nhất hay \[a=b>0\]
Do đó \[R = \left| a \right| = \left| b \right| = a\], phương trình đường tròn cần tìm có dạng:
\[{\left[ {x{\rm{ }} - {\rm{ }}a} \right]^2} + {\left[ {y{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right]^2} = {a^2}{\rm{ }}\]
\[M[2; \, 1]\] thuộc đường tròn nên ta có:
\[{\left[ {2{\rm{ }} - {\rm{ }}a} \right]^2} + {\left[ {1{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right]^2} = {a^2}{\rm{ }}\]
\[{a^2} - 6a + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
a = 5 \hfill \cr} \right.[TM]\]
Từ đây ta được hai đường tròn thỏa mãn điều kiện
+] Với \[a = 1\] \[\Rightarrow {\left[ {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }}} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]^2}{\rm{ }} = {\rm{ }}1 \, \, [{C_1}]\]
+] Với \[a = 5\] \[\Rightarrow {\left[ {x - 5{\rm{ }}} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {y - 5} \right]^2}{\rm{ }} = {\rm{ 25}} \, \, [{C_2}]\]