Cách tính góc giữa 2 vecto bằng máy tính
|
I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG
 Câu 2-[Câu 37 đề minh họa vào ĐHQG HN] Góc giữa hai đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}$ và d': $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{1}$ là : A. ${45^0}$ B. ${90^0}$ C. ${60^0}$ D. ${30^0}$Đề bài yêu cầu tính góc theo đơn vị độ nên ta chuyển máy tính về chế độ độ
Câu 3-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017] Tìm m để góc giữa hai vecto $\overrightarrow u \left( {1;{{\log }_3}5;{{\log }_m}2} \right)$ , $\overrightarrow v \left( {3;{{\log }_5}3;4} \right)$ là góc nhọn A. $1 > m > \frac{1}{2}$ B. $\left[ \begin{array}{l} m > 1\\ 0 < m < \frac{1}{2} \end{array} \right.$ C. $0 < m < \frac{1}{2}$ D.m>1Gọi góc giữa 2 vecto $\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v $ là $\alpha $ thì $\cos \alpha = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}$ Để góc $\alpha $ nhọn thì $\cos \alpha < 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v < 0$ $ \Leftrightarrow 1.3 + {\log _3}5.{\log _5}3 + 4.{\log _m}2 < 0 \Leftrightarrow {\log _m}2 + 1 < 0$ (1) Để giải bất phương trình (1) ta sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start -2 End 2 Step 0.5
Câu 4-[Câu 42a trang 125 Sách bài tập nâng cao hình học 12] Tìm $\alpha $ để hai mặt phẳng $\left( P \right):x - \frac{1}{4}y - z + 5 = 0$ và $\left( Q \right):x\sin \alpha + y\cos \alpha + z{\sin ^3}\alpha + 2 = 0$vuông góc với nhau A. ${15^0}$ B. ${75^0}$ C. ${90^0}$ D. Cả A, B, C đều đúngMặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} \left( {1; - \frac{1}{4}; - 1} \right)$ , mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} \left( {\sin \alpha ;\cos \alpha ;{{\sin }^3}\alpha } \right)$ Để hai mặt phẳng trên vuông góc với nhau $ \Leftrightarrow $ góc giữa $\overrightarrow {{n_P}} $ và $\overrightarrow {{n_Q}} $ bằng ${90^0}$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0$ $ \Leftrightarrow \sin \alpha - \frac{1}{4}\cos \alpha - {\sin ^3}\alpha = 0$. Đặt $P = \sin \alpha - \frac{1}{4}\cos \alpha - {\sin ^3}\alpha $ Vì đề bài đã cho sẵn đáp án nên ta sử dụng phương pháp thử đáp án bằng chức năng CALC của máy tính Casio Với $\alpha = {15^0}$ => $P = 0 \Rightarrow $ Đáp án A đúng
Câu 5-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Điểm H(2;-1;-2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O lên mặt phẳng (P) .Tìm số đo góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q): x-y-6=0 A. ${30^0}$ B. ${45^0}$ C. ${60^0}$ D. ${90^0}$Mặt phẳng (P) vuông góc với OH nên nhận $\overrightarrow {OH} \left( {2; - 1; - 2} \right)$ là vecto pháp tuyến $ \Rightarrow \left( P \right):2\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 2z - 9 = 0$ Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} \left( {1; - 1;0} \right)$ Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) => $\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OH} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}$
Câu 6-[Câu 47 trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Mặt phẳng (Q)nào sau đây đi qua hai điểm A(3;0;0) và B(0;0;1) đồng thời tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc là ${60^0}$ A. $\left[ \begin{array}{l} x - \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0\\ x - 5y + 3z - 3 = 0 \end{array} \right.$ B. $\left[ \begin{array}{l} x + 5y + 3z - 3 = 0\\ x + \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0 \end{array} \right.$ C. $\left[ \begin{array}{l} x - 5y + 3z - 3 = 0\\ x + 5y + 3z - 3 = 0 \end{array} \right.$ D. $\left[ \begin{array}{l} x + \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0\\ x - \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0 \end{array} \right.$Cách Casio Để thực hiện cách này ta sẽ làm các phép thử. Ta thấy tất cả các mặt phẳng xuất hiện trong đáp án đều đi qua 2 điểm A, B . Vậy ta chỉ cần tính góc giữa mặt phẳng xuất hiện trong đáp án và mặt phẳng (Oxy) là xong. Với mặt phẳng $\left( Q \right):x - \sqrt {26} y + 3z - 3 = 0$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - \sqrt {26} ;3} \right)$ , mặt phẳng (Oxy) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)$ Gọi $\alpha $ là góc giữa 2 mặt phẳng trên $ \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_Q}} ;\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = 0.5 \Rightarrow \alpha = {60^0}$
Câu 7-[Câu 71 trang 134 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Tính góc giữa đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}$ và mặt phẳng ( P):x + 2y - z + 5 = 0 A. ${30^0}$ B. ${45^0}$ C. ${60^0}$ D. ${90^0}$Đường thẳng $\Delta $ có vecto chỉ phương $\overrightarrow u \left( {2;1;1} \right)$ và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {1;2; - 1} \right)$ Gọi $\beta $ là góc giữa giữa 2 vectơ $\overrightarrow u ,\,\overrightarrow n $ . Ta có $\left| {\cos \left( \beta \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}$
Câu 8-[Câu 21trang 119Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho bốn điểm A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D(1;1;1) . Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và CD : A. ${30^0}$ B. ${60^0}$ C. ${90^0}$ D. ${120^0}$Đường thẳng AB nhận vecto $\overrightarrow {AB} \left( { - 1;1;1} \right)$ là vecto chỉ phương , đường thẳng CD nhận $\overrightarrow {CD} \left( {0;1; - 1} \right)$là vecto chỉ phương Gọi $\alpha $ là góc giữa hai đường thẳng AB, CD và được tính theo công thức : $\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}$ Nhập các vecto $\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {CD} $ vào máy tính Casio
Câu 9-[Câu 8 trang 142 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Cho $\overrightarrow u \left( {1;1; - 2} \right)$ và $\overrightarrow v \left( {1;0;m} \right)$ . Tìm m để góc giữa hai vecto $\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v $ là ${45^0}$ A. $\left[ \begin{array}{l} m = 2 - \sqrt 6 \\ m = 2 + \sqrt 6 \end{array} \right.$ B. $m = 2 - \sqrt 6 $ C. $m = 2 + \sqrt 6 $ D. Không có m thỏa mãnTa có $\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{1 - 2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2} = 1} }}$ Để góc giữa 2 vecto trên là ${45^0}$ thì $\frac{{1 - 2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2} = 1} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \frac{{1 - 2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2} = 1} }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }} = 0$ Để kiểm tra giá trị m thỏa mãn ta sử dụng máy tính Casio với chức năng CALC Với $m = 2 - \sqrt 6 $
Câu 10-[Câu 14 trang 143 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Cho hai mặt phẳng $\left( P \right):{m^2}x - y + \left( {{m^2} - 2} \right)z + 2 = 0$ và $2x + {m^2}y - 2z + 1 = 0$ vuông góc với nhau : A. $\left| m \right| = 2$ B. $\left| m \right| = 1$ C. $\left| m \right| = \sqrt 2 $ D. $\left| m \right| = \sqrt 3 $Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {{m^2}; - 1;{m^2} - 2} \right)$ , mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {n'} \left( {2;{m^2}; - 2} \right)$ Để hai mặt phẳng trên vuông góc nhau thì $\overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Leftrightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {n'} = 0$ $ \Leftrightarrow {m^2}.2 - {m^2} + \left( {{m^2} - 2} \right).\left( { - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4 - {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2$ => Đáp án chính xác là ACâu 11-[Câu 94 trang 140 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a . Xét hai điểm là trung điểm B’C’ . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AP và BC’ A. $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$ B. $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$ C. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ D. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc là đỉnh A , tia Ox chứa AB , tia Oy chứa AD , tia Oz chứa AA’ . Chọn a=1 khi đó: A(0;0;0), B(0;1;0), D(0;1;0), A’(0;0;1), B’(1;0;1); C’(1;1;1) $ \Rightarrow P\left( {1;\frac{1}{2};1} \right)$, $\overrightarrow {AP} \left( {1;\frac{1}{2};1} \right)$ , $\overrightarrow {BC'} \left( {0;1;1} \right)$ Góc giữa 2 đường thẳng AP, BC’ là $\alpha $ thì $\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {AP} ;\overrightarrow {BC'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AP} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}} = 0.7071... = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
Câu 12-[Câu 47a trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Viết phương trình mặt phẳng(P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng $\left( Q \right):2x + y - \sqrt 5 z = 0$ một góc ${60^0}$ A. $\left[ \begin{array}{l} x + 3y = 0\\ x - 3y = 0 \end{array} \right.$ B. $\left[ \begin{array}{l} x - 3y = 0\\ - 3x + y = 0 \end{array} \right.$ C. $\left[ \begin{array}{l} - 3x + y = 0\\ x + 3y = 0 \end{array} \right.$ D. $\left[ \begin{array}{l} - 3x + y = 0\\ 3x + y = 0 \end{array} \right.$Cách Casio Với mặt phẳng ( P):x + 3y = 0 có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3} \right)$ , mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;1; - \sqrt 5 } \right)$ Gọi $\alpha $ là góc giữa 2 mặt phẳng trên $ \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = 0.5 \Rightarrow \alpha = {60^0}$
Câu 13-[Câu 19 trang 145 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho ( P ):3x + 4y + 5z + 8 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):x - 2y + 1 = 0$ , $\left( \beta \right):x - 2z - 3 = 0$ . Gọi $\varphi $ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) . Khi đó : A. $\varphi = {30^0}$ B. $\varphi = {45^0}$ C. $\varphi = {60^0}$ D. $\varphi = {90^0}$d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right),\,\left( \beta \right)$ nên nhận d vuông góc với hai vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng này =>Vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {4;4;4} \right)$
Chính xác là B. |
