Cho hàm số 3 2 yx x3 2 tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tâm đối xứng của đồ thị
|
Hàm số và đồ thị là một kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình Toán trung học cơ sở. Vì vậy hôm nay Kiến Guru xin gửi đến bạn đọc bài viết về ứng dụng của đồ thị hàm số bậc 3 trong việc giải các bài tập toán. Đây là một trong những dạng thường xuất hiện ở các đề thi cuối cấp cũng như tuyển sinh lên lớp 10. Cùng tham khảo nhé: Show I. Đồ thị hàm số bậc 3 - Lý thuyết cơ bản1. Các bước khảo sát hàm số bất kì.Xét hàm y=f(x), để khảo sát hàm số, ta thực hiện theo các bước như sau:
2. Khảo sát hàm số bậc 3.Cho hàm số bậc 3 dạng: 
3. Dạng đồ thị hàm số bậc 3:Cho hàm số bậc 3 dạng: Đạo hàm Ta xảy ra các trường hợp bên dưới:
II. Các bài toán ứng dụng đồ thị hàm số bậc 3.Ví dụ 1: Khảo sát đồ thị của hàm số bậc 3 sau: y=x3+3x2-4. Hướng dẫn: Bài này là một bài kinh điển, để khảo sát, lần lượt thực hiện theo các bước: Tập xác định: D=R Sự biến thiên:
Tìm giới hạn: Vẽ bảng biến thiên: Hàm số đạt cực đại tại x=-2, giá trị cực đại yCD=0 Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yCT=-4 Vẽ đồ thị: Xác định điểm đặc biệt:
Vậy giao điểm với trục hoành là (-2;0) và (1;0)
Vậy giao điểm với trục tung là (0;-4).
Nhận xét: cách trình bày trên phù hợp với các bài toán tự luận, ngoài ra đồ thị hàm số bậc 3 còn được sử dụng rộng rãi trong các bài toán trắc nghiệm mà ở đó, đòi hỏi những kỹ năng nhận dạng một cách nhanh chóng, chính xác để tìm ra đáp án bài toán. Ví dụ 2: Hãy tìm hàm số có đồ thị là hình dưới đây:
Hướng dẫn: Dựa vào dạng đồ thị, ta có a>0. Hiển nhiên B, C bị loại. Hàm số này không có cực trị, nên loại đáp án A. Vậy đáp án D đúng. Nhận xét: bài toán này, các bạn có thể lý luận theo một cách khác, để ý hàm số đi qua điểm (0;1), vậy loại đáp án C. Mặt khác, đồ thị đi qua (1;2) nên loại A, B. Vậy suy ra đáp án D đúng. Ví dụ 3: Cho hàm số bậc 3: Tìm đáp án chính xác:
Hướng dẫn: Từ hình vẽ đồ thị, dễ dàng nhận thấy a<0. Mặt khác khi thay x=0, ta có y=d. Điểm (0;d) là giao của đồ thị với trục tung, suy ra d>0. Lại có:
lúc này y’=0, suy ra x=0 hoặc x=-2b/3a. Lại dựa vào đồ thị, nhận thấy hoành độ điểm cực đại dương nên -2b/3a>0, kết hợp với a<0 suy ra b>0. Vậy đáp án đúng là D. Ví dụ 4: Cho hàm số Hãy lựa chọn mệnh đề chính xác:
Hướng dẫn: Đồ thị (I) khi a>0, vậy loại C. Đồ thị (II) khi a<0, vậy loại B vì điều kiện a ở mệnh đề này không đủ chặt chẽ. Đồ thị (III) xảy ra khi a>0, f’(x)=0 vô nghiệm. Đồ thị (IV) xảy ra khi a<0, vậy loại A. Kết hợp sự phân tích trên, D là đáp án chính xác.
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. I. Phương pháp giải Cho hàm số y = f(x), gọi đồ thị của hàm số là (C). Loại 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) tại M(x0; y0) ♦ Phương pháp • Bước 1. Tính y’= f’(x) suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là k = y’(x0) • Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(x0; y0) có dạng y - y0 = f'(x0).(x - x0). ◊ Chú ý: • Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thì khi đó ta tìm y0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức y0 = f(x0). Nếu đề cho y0 ta thay vào hàm số để giải ra x0. • Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng d: y= ax + b. Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C) Loại 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) có hệ số góc k cho trước. ♦ Phương pháp • Bước 1. Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm và tính y' = f'(x). • Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k' f'(x0). Giải phương trình này tìm được x0; thay vào hàm số được y0 • Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng d: y – y0 = f'(x0).(x - x0) ◊ Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau: • Tiếp tuyến d // Δ: y = ax + b ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = a.Tiếp tuyến d ⊥ Δ: y = ax + b, (a ≠ 0) hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1/a. • Tiếp tuyến d ⊥ Δ: y = ax + b, (a ≠ 0) hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1/a. • Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì hệ số góc của tiếp tuyến d là k = ±tanα Loại 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA; yA). ♦ Phương pháp Cách 1. • Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA; yA) hệ số góc k có dạng d: y = k(x - xA) + yA (*) • Bước 2: d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
• Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình (*), ta được tiếp tuyến cần tìm. Cách 2. • Bước 1. Gọi M(x0; f(x0)) là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến k = y'(x0) = f'(x0) theo x0. • Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d: y = y'(x0).(x – x0) + y0 (**). Do điểm A(xA; yA) d nên yA = y'(x0).(xA- x0) + y0 giải phương trình này ta tìm được x0. • Bước 3. Thế x0 vào (**) ta được tiếp tuyến cần tìm. Dạng 2: Các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số. I. Phương pháp giải Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng K. Để giải được các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số ta cần chú ý: + Tính đạo hàm của hàm số. + Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm; đi qua một điểm; tiếp tuyến biết hệ số góc... + Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau; hai đường thẳng vuông góc có tích hai hệ số góc bằng – 1. + Giao điểm của hai đồ thị hàm số. + Hệ thức Vi-et. + Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng... |
