Công thức đường chéo hình chóp tứ giác đều
|
Trong toán học nói chung và môn hình học nói riêng thì chúng ta thường xuyên gặp phải hình chóp tứ giác đều trong mỗi bài toán .Nhưng cũng không phải là ai cũng biết cách xác định hay tính được các thể tích và diện tích của hình chóp tứ giác đều . Chính vì thế hôm nay Legoland xin tổng hợp lại cho mọi người các kiến thức về hình chóp tứ giác nhé . Show Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy là hình vuông và đường cao của chóp đi qua tâm đáy (giao của 2 đường chéo hình vuông).
Để tính được diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác thì chúng ta sẽ được tính bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn . Cụ thể công thức ký hiệu như sau : Sxq = p.d Trong đó :
Tham khảo thêm : Diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác sẽ bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy. Ta có công thức sau đây: Stp = Sxq + S Trong đó :
Ví dụ : Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy dài 8 cm, độ dài các cạnh bên là 7cm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.  Lời giải : Bài toán cho hình chóp tam giác đều, như vậy đáy hình chóp sẽ là tam giác đều cạnh 6 cm, chiều dài các cạnh bên là 5cm. Để tính được diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp ta cần tính thêm độ dài trung đoạn hình chóp. Các bạn vẽ hình chóp tam giác đều SABCD như hình ảnh. Từ đỉnh S, vẽ đường thẳng nối với trung điểm của đoạn AC, ta đặt là điểm M. SM chính là trung đoạn của hình chóp. Xét tam giác SBM, vì SBC là tam giác cân nên ta có SBM là tam giác vuông, áp dụng định lý Pitago cho tam giác này ta tính được cạnh SM. SM^2 = SB^2 – BM^2 = 8^2 – 4^2 => SM = ~ 7 cm. Diện tích xung quanh hình chóp là: Sxq = p.d = 1⁄2 x 7 x 7 x 7 = 10,5 cm2 Diện tích toàn phần hình chóp là: Stp = Sxq + Sđáy = 10,5 + 64 = 74,5 cm2 Trong đó: Ví dụ : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 60 độ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.. Như hình vẽ sau : Lời giải : Theo công thức tính thể tích hình chóp thì các bạn cần tính được chiều cao và diện tích mặt đáy hình chóp tứ giác .
AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD) nên ta có: Sau khi tính được diện tích hình vuông ABCD và chiều cao hình chóp cuối cùng các bạn sẽ tính Vậy thể tích hình chóp tứ giác đều là : Như thế là chúng ta đã hiểu hơn về hình chóp tứ giác đều và các công thức tính diện tích và thể tích của hình chóp tứ giác đều rồi chứ .Chúc các bạn thành công .
1. Hình chóp tứ giác đều là gì?Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có mặt đáy là hình vuông, có mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và có chung đỉnh (đỉnh này đi qua giao điểm hai đường chéo của hình vuông đáy). Một hình chóp tứ giác đều có 5 tính chất là:
2. Công thức tính thể tích hình chóp tứ giác đều- Diện tích xung quanh của hình chóp đều được tính bằng công thức nửa chu vi đáy nhân với trung đoạn:
(với p là nửa chu vi đáy và d là trung đoạn của hình chóp) - Diện tích toàn phần của hình chóp sẽ bằng tổng của diện tích xung quanh cộng với diện tích mặt đáy, ta có công thức:
(với S là diện tích đáy) Hình chóp tứ giác đều Thể tích hình chóp tứ giác đều được tính bằng công thức:
Trong đó:
3. Một số bài tập về hình chóp tứ giác đều có lời giải
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng 30 độ. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a và 30 độ.
Giải: Đặt O là tâm của hình vuông ABCD. SO(ABCD) ; SABCD=a2. Dựng OECD , lại có CDSOCD(SEO) Khi đó ta có: ((SCD),(ABCD))=SEO=30 Mặt khác OE=BC2 (đường trung bình trong tam giác) nên OE=a2SO=OE.tan30=a.tan302=a23. Vậy VS.ABCD=13SO.SABCD=a363=a3318
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các điểm A1, B1, C1 sao cho: SA1SA=23;SB1SB=12;SC1SC=13 . Các mặt phẳng lần lượt qua A1, B1, C1 cắt SD tại D1. Chứng minh rằng: SD1SD=25. Giải: Ta có: VS.ABC=VS.DBC+VS.ADC=VS.ABD=V2 VS.A1B1C1VS.ABC=SA1SA.SB1SB.SC1SC=19 (1)
VS.A1D1C1VS.ADC=SA1SA.SD1SD.SC1SC=29.SD1SD (2) Cộng vế (1) với vế (2) ta được: VS.A1B1C1D112V=19+29.SD1SD (3) Tương tự: VS.A1D1B1VS.ADB=SA1SA.SD1SD.SB1SB=13.SD1SD (4) VS.B1D1C1VS.BDC=SB1SB.SD1SD.SC1SC=16.SD1SD (5) Cộng vế (4) với vế (5) ta được: VS.A1B1C1D112V=12.SD1SD (6) Từ (3) và (6) ta có: 12.SD1SD=19+29.SD1SDSD1SD=25.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 độ. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và // BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. a) Thể tích của khối chóp S.ABCD? b) Thể tích của khối chóp S.AEMF là? Giải: a, VS.ABCD=13SABCD.SO với SABCD=a2 SOA có: SO=SA.tan60=a62 VS.ABCD=a366 b, Ta có: VS.AEMF=VS.AMF+VS.AME=2VS.AMF VS.ABCD=2VS.ACD=2VS.ABC Xét khối chóp S.AMF và S.ACD SMSC=12 SAC có trọng tâm I, EF // BD nên SISO=SFSD=23VS.AMFVS.ACD=SMSC.SFSD=13 VS.AMF=13VS.AMF=16VS.ACD=a3636 VS.AEMF=2a3636=a3618
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. AB = SA = 2a. Khoảng cách từ đường thẳng AB đến (SCD) là d(AB,(SCD))=? Giải: - Lấy 2 điểm I và M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD. - Lấy O là tâm của hình vuông ABCD. +) Ta thấy S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. Mặt khác: AB = SA = 2a. Vậy nên độ dài tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng 2a. SO(ABCD) IM // AD, IMCD Ta có: IMCD ; SOCD CD(SIM) +) Vẽ IH ⊥ SM tại H (H ∈ SM) => IH ⊥ (SCD). d(AB,(SCD))=d(I,(SCD))=IH SSIM=12IH.SM=12SO.IMIH.SM=SO.IM IH=SO.IMSM SCD đều cạnh 2a SM=2a32=a3 và: OM=12IM=aSO=SM2-OM2=a2 Vậy d(AB,(SCD))=SO.IMSM=a2.2aa3=2a63 Trên đây là các công thức và bài tập trực quan về hình chóp tứ giác đều. Nhớ theo dõi studytienganh để biết thêm nhiều kiến thức bổ ích các bạn nhé! |
