Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] không vuông.
a] Gọi \[AA\] là đường cao của tam giác \[ABC\]. Chứng minh \[\left[ {{\mathop{\rm tanB}\nolimits} } \right]\overrightarrow {A'B} + \left[ {\tan C} \right]\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow 0 \]
b] Gọi \[H\] là trực tâm tam giác \[ABC.\] Chứng minh
\[[\tan A]\overrightarrow {HA} + [\tan B]\overrightarrow {HB} \]\[ + [\tan C]\overrightarrow {HC} = \overrightarrow 0 \].
Lời giải chi tiết
a] Xét trường hợp điểm \[A\] nằm trên cạnh \[BC\], tức là các góc \[B\] và \[C\] đều nhọn [h.36a].
Khi đó
\[AA' = A'B.\tan B = A'C.\tan C.\]
Vì \[\tan B > 0, \tan C > 0\] và hai vec tơ \[\overrightarrow {A'B} ; \overrightarrow {A'C} \] ngược hướng nên ta suy ra
\[[\tan B]\overrightarrow {A'B} + [\tan C]\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow 0 [*]\]
Nếu điểm \[A\] nằm ngoài cạnh \[BC\], chẳng hạn điểm \[C\] nằm giữa hai điểm \[B\] và \[A\] [h.36b], thì khi đó góc \[B\] nhọn và góc \[C\] tù, tức là \[\tan B > 0\] và \[\tan C < 0\].
Ta có
\[AA' = A'B\tan B\]
\[= A'C\tan [{180^0} - C]\]
\[= - A'C\tan C.\]
Trong trường hợp này hai vec tơ \[\overrightarrow {A'B} ; \overrightarrow {A'C} \] cùng hướng nên ta có : \[[\tan B]\overrightarrow {A'B} + [\tan C]\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow 0 \].
b] Nếu \[H\] là trực tâm tam giác \[ABC\] thì ta có các số \[\alpha , \beta , \gamma \] không đồng thời bằng 0 sao cho :\[\alpha \overrightarrow {HA} + \beta \overrightarrow {HB} + \gamma \overrightarrow {HC} = \overrightarrow 0 \] [theo bài14 chương I]. Vì \[AH \bot BC\] nên nhân hai vế của đẳng thức trên với \[\overrightarrow {BC} \] ta được \[\beta \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} + \gamma \overrightarrow {HC} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \] và do đó ta có [ theo công thức hình chiếu]:
\[\begin{array}{l}\beta \overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {BC} + \gamma \overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} [\beta \overrightarrow {A'B} + \gamma \overrightarrow {A'C} ] = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \beta \overrightarrow {A'B} + \gamma \overrightarrow {A'C} = \overrightarrow 0 \end{array}\]
[vì vec tơ\[\beta \overrightarrow {A'B} + \gamma \overrightarrow {A'C} \] cùng phương với \[\overrightarrow {BC} \]].
So sánh đẳng thức này với [*] ta suy ra \[\dfrac{\beta }{{\tan B}} = \dfrac{\gamma }{{\tan C}}\]. Bằng cách tương tự ta đi đến:
\[\dfrac{\alpha }{{\tan A}} = \dfrac{\beta }{{\tan B}} = \dfrac{\gamma }{{\tan C}}\].
Bởi vậy đẳng thức \[\alpha \overrightarrow {HA} + \beta \overrightarrow {HB} + \gamma \overrightarrow {HC} = \overrightarrow 0 \] trở thành
\[\tan A.\overrightarrow {HA} + \tan B.\overrightarrow {HB} \]\[ + \tan C.\overrightarrow {HC} = \overrightarrow 0 .\]