Đề bài
Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Gợi ý: Trong \[ABC\], nếu \[AD\] vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài \[AD\] một đoạn \[D{A_1}\]sao cho \[D{A_1}= AD.\]
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
Gọi \[AD\] là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của góc \[A\] trong \[ΔABC.\]Ta chứng minh \[ABC\] cân tại \[A.\]
Kéo dài \[AD\] một đoạn\[D{A_1}= AD.\]
Xét \[ADC\] và \[{A_1}DB\]ta có:
+] \[DC = DB\] [do \[AD\] là trung tuyến]
+] \[{ \widehat{D}}_1 ={\widehat{D}}_2\] [\[2\] góc đối đỉnh]
+] \[AD = D{A_1}\][do cách vẽ]
Vậy \[ADC = {A_1}DB\][c.g.c]
\[\Rightarrow AC = {A_1}B\] [1]
và \[\widehat{DAC}= \widehat{DA_1B}\]
Mà\[\widehat{BAD}= \widehat{DAC}\][Vì \[AD\] là phân giác]
\[\Rightarrow \] \[\widehat{BAD}=\widehat{DA_1B}\]
Xét tam giác\[AB{A_1}\]có\[\widehat{DA_1B} = \widehat{BAD}\]
Vậy tam giác \[AB{A_1}\]cân tại \[B\]
\[\Rightarrow AB = {A_1}B\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[AB = AC\].
Vậy \[ABC\] cân tại \[A.\]
Tức là: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.