Đề bài
Cho hình chóp tam giác \[O.ABC\] có ba cạnh \[OA, OB, OC\] đôi một vuông góc với nhau và \[OA = a, OB = b, OC = c\]. Hãy tính đường cao \[OH\] của hình chóp.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Gọi \[H\] là trọng tâm của \[\Delta{ABC}\], chứng minh \[OH \, \bot \,[ABC]\].
+] Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \[OH\].
Lời giải chi tiết
Kẻ \[\displaystyle AD\,\bot \, BC, OH \,\bot \,AD\] ta chứng minh \[\displaystyle OH\] chính là đường cao của hình chóp.
\[\displaystyle \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC\, \bot \,OA\\
BC \,\bot \,AH
\end{array} \right. \Rightarrow BC\, \bot \,\left[ {OAH} \right] \\\Rightarrow BC \,\bot \,OH\,\,\,\,\left[ 1 \right]\\
\left\{ \begin{array}{l}
AC\, \bot \,BH\\
AC \,\bot \,OB
\end{array} \right. \Rightarrow AC \,\bot \,\left[ {OBH} \right] \\\Rightarrow AC \,\bot \,OH\,\,\,\,\left[ 2 \right]\\
\left[ 1 \right];\left[ 2 \right] \Rightarrow OH \,\bot \,\left[ {ABC} \right]
\end{array}\]
Vậy\[\displaystyle OH\] chính là đường cao của hình chóp.
\[\displaystyle BC \,\bot \,\left[ {OAH} \right] \Rightarrow BC \,\bot \,\left[ {OAD} \right] \] \[\Rightarrow BC \bot OD\].
Tam giác \[OBC\] vuông tại \[O\] nên \[BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[OBC\] ta có:
\[\displaystyle OD.BC = OB.OC\] nên \[\displaystyle OD = \frac{{OB.OC}}{{BC}}={{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\].
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \[OAD\] ta có:
\[\displaystyle AD = \sqrt {A{O^2} + O{D^2}} \] \[= \sqrt {{a^2} + \dfrac {{b^2}{c^2}} {{b^2} + {c^2}}}\]
\[\displaystyle = \sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}\].
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[OAD\] ta có: \[\displaystyle OH.AD = OA.OD\] nên
\[\displaystyle OH = \dfrac{{OA.OD}}{{AD}}\] \[=\displaystyle {{abc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}:\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}} \] \[\displaystyle = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\].
Cách khác:
Tam giác \[OBC\] vuông tại \[O\] có \[OD\] là đường cao nên \[\displaystyle \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\]
Tam giác \[AOD\] vuông tại \[O\] có chiều cao \[OH\] nên
\[\displaystyle \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}}\] \[\displaystyle= \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\] \[ \displaystyle = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\]
\[ \Rightarrow O{H^2} =\displaystyle \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}\]
\[ \Rightarrow OH = \displaystyle \frac{{abc}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\]
Chú ý: Ta thấy khi \[OABC\] là tứ diện vuông [\[OA, OB, OC\] đôi một vuông góc] thì: \[\displaystyle \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\].
Từ nay về sau các em sử dụng kết quả này để các bài toán nhanh chóng hơn.