Đề bài
Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau không cùng song song với một mặt phẳng và một điểm G không nằm trên bất cứ đường nào trong ba đường thẳng đó. Hãy dựng tam giác có các đỉnh thứ tự nằm trên ba đường thẳng đã cho và nhận G làm trọng tâm
Lời giải chi tiết
a] Phân tích
Giả sử dựng được tam giác ABC có ba đỉnh A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng a, b, c đôi một chéo nhau cho trước và nhận điểm G làm trọng tâm.
Lấy các điểm A1, B1, C1lần lượt nằm trên a, b, c và gọi [P] là mp[A1B1C1]. Xét phép chiếu song song lên mp[P] theo phương chiếu là đường thẳng a. Gọi tam giác A1BC là hình chiếu của tam giác ABC. Khi đó trọng tâm G của tam giác A1BC là hình chiếu của trọng tâm G của tam giác ABC, trung điểm I của BC là hình chiếu của trung điểm I của BC.
Vậy khi đã chọn [P] thì các điểm A1,G dựng được và do đó I cũng dựng được. Ta chỉ cần dựng hai điểm B và C sao cho tam giác A1BC nhận G làm trọng tâm với \[B' \in {b_1},C' \in {c_1}\] [b1, c1lần lượt là hình chiếu của b và c].
b] Cách dựng
Lấy ba điểm A1, B1, C1tùy ý sao cho \[{A_1} \in a,{B_1} \in b,{C_1} \in c\]
Xác định mặt phẳng [P] là mặt phẳng đi qua ba điểm A1, B1, C1.
Dựng các hình chiếu b1, c1của b và c trên [P] theo phương chiếu a và dựng hình chiếu G của điểm G.
Trong mp[P], dựng điểm I sao cho \[\overrightarrow {{A_1}I'} = {3 \over 2}\overrightarrow {{A_1}G'} \]
Trong mp[P], dựng điểm \[B' \in {b_1},C' \in {c_1}\] sao cho I là trung điểm của BC.
Dựng điểm \[B \in b,C \in c\] sao cho BB // CC //a.
Dựng điểm \[I \in BC\] sao cho II // a, hay I là trung điểm của BC.
Trong mp[a, II] dựng đường thẳng IG cắt a tại A.
Dựng tam giác ABC với ba điểm A, B, C vừa dựng được.
c] Chứng minh:
Vì AA1// G'G // II'
Nên \[{{AI} \over {AG}} = {{{A_1}I'} \over {{A_1}G'}} = {3 \over 2}\]
Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC.
d] Biện luận. Bài toán có một nghiệm hình.