Giải bài tập Toán 10 Hình học vectơ
Tóm tắt kiến thức cần nhớ và Giải bài 1,2,3,4,5, 6,7,8,9, 10 trang 12 SGK hình 10: Tổng và hiệu hai vectơ – Chương 1 hình học lớp 10. A. Tóm tắt kiến thức cần nhớ Tổng và hiệu hai vectơTổng của hai vectơ Định nghĩa: Cho hai vectơ a, b. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ 2. Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì 3. Tính chất của tổng các vectơ – Tính chất giao hoán – Tính chất của véc tơ 0 4. Hiệu của hai vectơ a) Vec tơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vec tơ a Vec tơ đối của véc tơ 0 là vectơ 0. b) Hiệu của hai vec tơ: Cho hai vectơ a,b. Vec tơ hiệu của hai vectơ, c) Chú ý: Với ba điểm bất kì, ta luôn có (1) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với tổng của hai vectơ. (2) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với hiệu các vectơ. 5. Áp dụng a) Trung điểm của đoạn thẳng: I là trung điểm của đoạn thẳng⇔ b) Trọng tâm của tam giác: G là trọng tâm của tam giác ∆ABC ⇔ (Các em lưu ý thêm ký hiệu vecto khi làm bài tập nhé, bộ công cụ soạn thảo ad không thêm được) Bài 1. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ MA + MB và MA – MB Lời giải: Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M’ để có vecto AM’= MB Vậy vec tơ MM’ chính là vec tơ tổng của MA và MB MM’ = MA + MB . Ta lại có MA – MB = MA + (-MB) ⇒MA – MB = MA + BM (vectơ đối) Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có: MA + BM = BM + MA= BA (quy tắc 3 điểm) Vậy vecto MA – MB = BA Bài 2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: cách 2: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vectơ AB = MB – MA CD = MD – MC ⇒ AB + CD = (MB + MD) – (MA + MC) ABCD là hình bình hành nên AB và CD là hai véctơ đối nhau, cho ta: AB + CD = vectơ 0Suy ra: MA + MC = MB + MD. Bài 3. Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có Lời giải: a) Theo quy tắc 3 điểm của tổng vec tơ, ta có Vậy b) Theo quy tắc 3 điểm của hiệu vec tơ, ta có Bài 4 trang 12. Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng
Vì vậy: Bài 5 Hình 10. Cho tam giác ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ Ta có: véctơ AB + BC = AC ⇒ Độ dài của vectơ AB + vectơ BC là a Vẽ vectơ AD = vectơ BC, khi đó vectơ AB – BC = AB – AD = DB Tính DB: Gọi I là giao điểm của AC và BD ⇒ I là trung điểm của BD ⇒ BD = 2BI Mặt khác ΔBAi vuông tại I nên BI = AB.sinA = asin600 =a√3 / 2 Vậy: BD = 2 BI = a√3 Bài 6. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng: a) Ta có, theo quy tắc ba điểm của phép trừ BA = OA – OB (1) Mặt khác, OA = CO (2) Từ (1) và (2) suy ra: BA = CO – OB b) Ta có: DB = AB – AD (1) AD = BC (2) Từ (1) và (2) cho ta: DB = AB – BC c) Ta có: DA – DB = BA (1) OD – OC = CD (2) BA = CD (3) Từ (1),(2),(3) suy ra DA – DB = OD – OC. d) DA – DB + DC = (DA – DB) + DC = BA + DC = BA + AB (Vì DC = AB) = 0 Bài 7. Cho véctơ a,b là hai vectơ khác véctơ 0. Khi nào có đẳng thức a) Ta có |a + b| = |a| + |b| Nếu coi hình bình hành ABCD có véctơ AB = DC = a và véctơ AD = BC = b thì |a + b| là độ dài đường chéo AC và |a| = AB; |b| = BC Ta lại có: AC = AB + BC Đẳng thức xảy ra khi điểm B nằm giữa A,C Vậy |a + b| = |a| + |b| khi hai véctơ a,b cùng hướng b) Tương tự, |a + b| là độ dài đường chéo AC |a – b| là độ dài đường chéo BD |a + b | = |a -b|⇒ AC= BD Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, ta có AD ⊥ Ab hay véctơ a ⊥ b. Bài 8 trang 12 . Cho Đáp án bài 8: Từ |a + b| = 0, ta có véctơ a + b = 0 ⇒ a = -b Điều này chứng tỏ hai vectơ có cùng độ dài |a| = |b|, cùng phương và ngược hướng. Bài 9 trang 12. Chứng minh rằng véctơ AB = véctơ CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau. Ta chứng minh hai mệnh đề. a) Cho véctơ AB = véctơ CD thì AD và BC có trung điểm trùng nhau. Gọi I là trung điểm của AD ta chứng minh I cũng là trung điểm của BC. Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có Vì véctơ AB = véctơ CD nên Vì I là trung điểm của AD nên véctơ AI + véctơ DI = véctơ 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra véctơ CI + véctơ BI = vectơ 0 (3) Đẳng thức (3) chứng tỏ I là trung điểm của BC. b) AD và BC có chung trung điểm I, ta chứng minh véctơ AB = véctơ CD I là trung điểm của BC Suy ra Bài 10. Cho ba lực Tìm cường độ và hướng của lực F3 Giải: Để vật đứng yên thì →F3 phải có độ lớn |→F1 + →F2| nhưng ngược hướng với →F1 +→F2. Vậy →F3 có cường độ là 100√3 và hướng ngược với hướng của MD. |