Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác
Bài viết hướng dẫn phương pháp giải các phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC HAI 3. Nếu bài toán yêu cầu tìm giá trị của tham số để phương trình có nghiệm. Ví dụ 1: (CĐSP Hà Nội 1997): Giải phương trình: $\cos 2x + {\sin ^2}x + 2\cos x + 1 = 0.$ Biến đổi tương đương phương trình về dạng: Ví dụ 2: Cho phương trình: $4{\sin ^2}2x + 8{\cos ^2}x 5 + 3m = 0$ $(1).$ Biến đổi phương trình về dạng: Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là: Ví dụ 3: Cho phương trình: ${\sin ^2}3x + \left( {{m^2} 3} \right)\sin 3x + {m^2} 4 = 0$ $(1).$ Đặt $t = \sin 3x$, điều kiện $|t| \le 1.$ Bài toán 2: Giải và biện luận phương trình: $a.{\tan ^2}x + b.\tan x + c = 0$ $(1).$ Ví dụ 4: Giải phương trình: $\sqrt 3 {\cot ^2}x 4 \cot x + \sqrt 3 = 0.$ Điều kiện: $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi $, $k \in Z.$ Ví dụ 5: Cho phương trình: $\frac{{{m^2} 1}}{{{{\cos }^2}x}} 2m\tan x {m^2} + 2 = 0$ $(1).$ Điều kiện: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$ II. CÁC BÀI TOÁN THI Biến đổi phương trình về dạng: Bằng cách biểu diễn các họ nghiệm trên lên đường tròn đơn vị ta thấy nghiệm $x = \frac{\pi }{6} + 2k\pi $, $k \in Z$ thoả mãn điều kiện $\cos x \ge 0.$ Bài 2: (ĐH Đà Nẵng 96): Cho phương trình: ${\cos ^2}x (2m + 1)\cos x + m + 1 = 0$ $(1).$ Đặt $t = \cos x$, điều kiện $|t| \le 1.$ Bài 3: (CĐCN IV TPHCM 2000): Cho phương trình: ${\cos ^2}x + 2(1 m)\cos x + 2m 1 = 0$ $(1).$ a. Với $m = \frac{1}{2}$, phương trình có dạng: Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là: Bài 4: (HVKTQS 2001): Giải phương trình: $3 {\cot ^2}x + 2\sqrt 2 {\sin ^2}x = (2 + 3\sqrt 2 )\cos x$ $(1).$ Biến đổi phương trình về dạng: Bài 5: Giải và biện luận phương trình: $(m 1){\sin ^2}x 2(m + 1)\cos x + 2m 1 = 0$ $(1).$ Biến đổi phương trình về dạng: Vậy: III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài tập 2: Cho phương trình: $\cos 2x + 5\sin x + m = 0.$ Bài tập 3: Cho phương trình: $4{\cos ^2}x 2(m 1)\cos x m = 0.$ Bài tập 4: Xác định $m$ để phương trình: $m\cos 2x 4(m 2)\cos x + 3(m 2) = 0$ có đúng $2$ nghiệm thuộc $\left( { \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right).$ Bài tập 5: Giải và biện luận theo $m$ phương trình: $(m 1){\sin ^2}x 2(m + 1)\cos x + 2m 1 = 0.$ Bài tập 6: Giải và biện luận theo $a$, $b$ phương trình: $ \cos ax + \cos 2bx \cos \left[ {(a + 2b)x} \right] = 1.$ Bài tập 7: Biện luận số nghiệm của phương trình: ${\cos ^2}x + (1 m)\cos x + m 1 = 0$ với $0 < x < \pi $tuỳ theo các giá trị của $m.$ |