Chứng minh rằng phương trình (1 - m 2 x^5 3 x-1=0 luôn có nghiệm với mọi m)
+) Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (a; b). +) Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm. – Bước 1: Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f(x) = 0. Bạn đang xem: Cách chứng minh phương trình luôn có nghiệm
– Bước 2: Tìm 2 số a và b (a < b) sao cho f(a) . f(b) < 0 – Bước 3: Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b). Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự. +) Một số chú ý: B. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Chứng minh rằng phương trình 4x3 – 8x2 + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng (–1;2). Hướng dẫn giải: Hàm số f(x) = 4x3 – 8x2 + 1 liên tục trên R. Ta có: f(-1) = -11, f(2) = 1 nên f(-1).f(2) < 0. Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (–1;2). Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình x3 + x – 1 = 0 có nghiệm. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = x3 + x – 1 Hàm f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R (định lý cơ bản về tính liên tục) Suy ra hàm f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] (vì [0; 1] ⊂ R) (1) Ta có: f(0) = 03 + 0 – 1 = – 1 ; f(1) = 13 + 1 – 1 = 1 ⇒ f(0) . f(1) = – 1. 1 = – 1 < 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) (tính chất hàm số liên tục). Vậy phương trình x3 + x – 1 = 0 có nghiệm (đpcm). Ví dụ 3: Chứng minh 4x4 + 2x2 – x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1; 1). Hướng dẫn giải: + Đặt f(x) = 4x4 + 2x2 – x – 3 Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R. Suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1]. + Ta có: f(-1) = 4.(-1)4 + 2.(-1)2 – (-1) – 3 = 4 f(0) = 4.0 + 2.0 – 0 – 3 = -3 f(1) = 4.14 + 2.12 – 1 – 3 = 2 + Vì f(-1).f(0) = 4.(-3) = -12 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1; 0) Vì f(0) . f(1) = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) Mà hai khoảng (-1; 0) và (0; 1) không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc (-1; 1). (đpcm) Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0 có đúng 5 nghiệm. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = x5 – 5x3 + 4x – 1 thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức). Ta có: Ví dụ 5: Chứng minh rằng phương trình (m2 – m + 3)x2n – 2x – 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = (m2 – m + 3)x2n – 2x – 4 Ta có: Mặt khác hàm số f(x) xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0] Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2; 0). Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. Ví dụ 6: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm. Hướng dẫn giải: C. Bài tập áp dụngBài 1. Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2;1): 2x5-5x3-1=0. Bài 2. CMR phương trình:2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm. Bài 3. CMR phương trình: 3x3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm. Bài 4. CMR phương trình: 4x4 + 2x2 – x = 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (-1; 1). Bài 5. CMR phương trình 2x3 – 6x + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn Bài 6. Chứng minh phương trình sau có nghiệm: (m2 – 4)(x – 1)6 + 5x2 – 7x + 1=0 Bài 7. Chứng minh rằng phương trình: a. x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm. b. cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm trong (-p/6; p) c. x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0 có năm nghiệm phân biệt d. (m2 – 1)x5 – (11m2 – 10)x + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;2)* Bài 8. CMR các phương sau luôn có nghiệm: a) m(x – 1)(x – 2) + 2x + 1 = 0 b) (m2 – 2m)x3 + 2x – 1 = 0 c) cosx + mcoss2x = 0 d) (1 – m2)(x + 1)3 + x2 – x – 3 = 0 Bài 9. Chứng minh rằng phương trình: a. 2x5 + 3x4 + 3×2 – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm. b. 2x3 + 3x2 + 10x + 200 = 0 luôn có nghiệm. c. 4x4 + 2x2 – x – 28 = 0 luôn có nghiệm Đăng bởi: Đại Học Đông Đô Chuyên mục: Lớp 11, Toán 11
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng thảo luận với các CAO THỦ trên mọi miền tổ quốc. Hoàn toàn miễn phí! chứng minh phương trình:::: 1) [TEX](1 - m^2)x^5 - 3x - 1=0[/TEX] luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m 2) [TEX](1 - m^2)(x + 1)^3 + x^2 - x - 3=0[/TEX] luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m. 3) [TEX]m(x - 1)^3(x^2 - 4) + x^4 - 3=0[/TEX] luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của tham số m
chứng minh phương trình::::
1)
[TEX](1 - m^2)x^5 - 3x - 1=0[/TEX]
luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m
2)
[TEX](1 - m^2)(x + 1)^3 + x^2 - x - 3=0[/TEX]
luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
3)
[TEX]m(x - 1)^3(x^2 - 4) + x^4 - 3=0[/TEX]
luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của tham số m
1) xét m=1 và m=-1 thì pt luôn có nghiệm xét m#1 và m#-1
đặt f(x)=
f(-1)= [TEX] m^2+1[/TEX]>0 f(0)=-1 f(-1)*f(0)<0 suyra đpcm 2)cũng xét f(-2) và f(-1) 3)đặt f(x)= [TEX]m(x - 1)^3(x^2 - 4) + x^4 - 3[/TEX]f(x) lt trên R nên f(x) lt trên [-2,2] f(-2)=13 f(1)=-2 f(2)=13 f(-2)*f(1)<0 f(1)*f(2)<0 suy ra đpcm
Bài 1 tại sao lại xét trên đoạn -1,0 ạ
chứng minh phương trình::::
1)
[TEX](1 - m^2)x^5 - 3x - 1=0[/TEX]
luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m
2)
[TEX](1 - m^2)(x + 1)^3 + x^2 - x - 3=0[/TEX]
luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
3)
[TEX]m(x - 1)^3(x^2 - 4) + x^4 - 3=0[/TEX]
luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của tham số m
1)xét m=1 và m=-1 thì pt luôn có nghiệm [TEX] m^2+1[/TEX]>0
f(0)=-1
f(-1)*f(0)<0 suyra đpcm |