Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 mũ 3 trừ x bình 2 m m bình có nghiệm
|
ĐỀ BÀI: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) nhỏ hơn 2018 để phương trình \({\log _2}\left( {m + \sqrt {m + {2^x}} } \right) = 2x\) có nghiệm thực? A. 2017. B. 2018. C. 2016. D. 2015. LỜI GIẢI CHI TIẾT Tự luận: Phương trình đã cho tương đương: \(m + \sqrt {m + {2^x}} = {2^{2x}} \Leftrightarrow \left( {m + {2^x}} \right) + \sqrt {m + {2^x}} = {2^{2x}} + {2^x}\,\,\,\,\left( 1 \right)\). Với \(\sqrt {m + {2^x}} > 0;\,\,{2^x} > 0\), xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {t^2} + t\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Ta có \(f\left( t \right) = 2t + 1 > 0,\,\,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\). Do đó hàm \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Vì vậy \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {m + {2^x}} } \right) = f\left( {{2^x}} \right) \Leftrightarrow \sqrt {m + {2^x}} = {2^x} \Leftrightarrow m = {2^{2x}} {2^x}\). Đặt \(a = {2^x} > 0\). Xét hàm \(g\left( a \right) = {a^2} a\), ta có bảng biến thiên: Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(m \ge \frac{1}{4}\). Mà \(m\) là số nguyên dương nhỏ hơn 2018 nên \(m \in \left\{ {1;2;3;;2017} \right\}\). Vậy có 2017 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tư duy + Casio: Ta có phương trình \({\log _2}\left( {m + \sqrt {m + {2^x}} } \right) = 2x \Leftrightarrow m + \sqrt {m + {2^x}} = {2^{2x}}\). Áp dụng kỹ thuật CALC: Đặt \({2^x} = y = 100 \Rightarrow m = 9900 = {y^2} y = {2^{2x}} {2^x}\). Đặt \(a = {2^x} > 0\). Khi đó \(m = g\left( a \right) = {a^2} a\). Như vậy \(m \ge \frac{1}{4}\), mà \(m\) nguyên dương nhỏ hơn 2018 nên \(m \in \left\{ {1;2;3;;2017} \right\}\). Vậy có 2017 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. =========== |
