Đề bài
Cho tứ diện \[ABCD\] có cạnh \[AD\] vuông góc với mặt phẳng \[[ABC]\] và cạnh \[BD\] vuông góc với cạnh \[BC\]. Biết \[AB = AD = a\], tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc \[BDA\] quanh cạnh \[AB\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vì \[ABD\] vuông góc tại \[A\], nên khi quay \[BDA\] quanh \[AB\] ta được hình nón tròn xoay đường cao \[h=AB \] và bán kính đáy bằng \[r=AD.\]
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón:\[{S_{xq}} = \pi rl,\,\,V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\]
Lời giải chi tiết
\[AD \bot \left[ {ABC} \right] \Rightarrow AD \bot AB \Rightarrow \Delta ABD\] vuông tại A.
Vì \[ABD\] vuông góc tại \[A\], nên khi quay \[BDA\] quanh \[AB\] ta được hình nón tròn xoay đường cao \[h=AB = a\] và bán kính đáy bằng \[r=AD =a\].
Gọi \[l\] là độ dài đường sinh của hình nón ta có:\[l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \]
Vậy\[{S_{xq}} = \pi rl = \pi .a.a\sqrt 2 = \pi {a^2}\sqrt 2 ,\] \[V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{a^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\]