Đề bài
Cho hai đường tròn \[[O;\ 20cm]\] và \[[O'; 15cm]\] cắt nhau tại \[A\] và \[B\]. Tính đoạn nối tâm \[OO'\], biết rằng \[AB=24cm.\] [Xét hai trường hợp: \[O\] và \[O'\] nằm khác phía đối với \[AB;\ O\] và \[O'\] nằm cùng phía đối với \[AB\]].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Nếu \[[O]\] và \[[O']\] cắt nhau tại \[A,\ B\] thì \[OO'\] là trung trực của \[AB\].
+] Định lí Pytago: \[\Delta{ABC}\] vuông tại \[A\] thì \[BC^2=AB^2+AC^2\].
Lời giải chi tiết
* TH1: \[O\] và \[O'\] nằm khác phía đối với \[AB\] [h.a]
Vẽ dây cung \[AB\] cắt \[OO'\] tại \[H\]. Theo định lí - trang 119 về tính chất đường nối tâm, ta có: \[AB\perp OO'\]và \[HA=HB=\dfrac{24}{2}=12cm\].
Xét tam giác \[AOH\] vuông tại \[H\], áp dụng định lí Pytago, ta có:
\[OA^2=OH^2+AH^2 \]
\[\Rightarrow OH^2=OA^2-AH^2\]
\[\Leftrightarrow OH^{2}=20^{2}-12^{2}=256\]
\[\Leftrightarrow OH=\sqrt{256}=16cm.\]
Xét tam giác \[AO'H\] vuông tại \[H\], áp dụng định lí Pytago, ta có:
\[AO'^2=AH^2+HO'^2\]
\[\Rightarrow HO'^2=AO'^2 - AH^2\]
\[\Leftrightarrow HO'^2=15^2-12^2=81\]
\[\Leftrightarrow HO'=\sqrt {81}=9[cm]\].
Khi đó\[OO'=OH+HO'=16+9=25[cm].\]
*TH2: \[O\] và \[O'\] nằm cùng phía đối với \[AB\] [h.b]
Tương tự TH1 ta vẫn có \[OH=16cm;O'H=9cm\]
Khi đó \[OO'=OH-O'H=16-9=7[cm].\]