Đề bài
Cho phương trình
\[[m + 1]{x^2} + [3m - 1]x + 2m - 2 = 0\]
Xác định m để phương trình có hai nghiệm \[x{}_1,{x_2}\] mà \[x{}_1 + {x_2} = 3\]. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình có hai nghiệm và tổng hai nghiệm bằng 3 thì \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta \ge 0}\\{{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 3}\end{array}} \right.\]
Lời giải chi tiết
Bài toán thỏa khi
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta \ge 0\\
- \frac{b}{a} = 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 1 \ne 0\\
{\left[ {3m - 1} \right]^2} - 4\left[ {m + 1} \right]\left[ {2m - 2} \right] \ge 0\\
- \frac{{3m - 1}}{{m + 1}} = 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne - 1\\
9{m^2} - 6m + 1 - 4\left[ {2{m^2} - 2} \right] \ge 0\\
- 3m + 1 = 3m + 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne - 1\\
{m^2} - 6m + 9 \ge 0\\
- 6m = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne - 1\\
{\left[ {m - 3} \right]^2} \ge 0\\
m = - \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow m = - \frac{1}{3}
\end{array}\]
Với \[m = - \frac{1}{3}\] thì phương trình trở thành
\[\frac{2}{3}{x^2} - 2x - \frac{8}{3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 4
\end{array} \right.\]
Vậy với \[m = - \frac{1}{3}\] thì phương trình đã cho có hai nghiệm \[{x_1} = - 1,{x_2} = 4\].