\[= {\left[ {\left[ {x - y} \right]\left[ {x + y} \right]} \right]^2} - 4xy{\left[ {x - y} \right]^2}\]
Đề bài
Chứng minh rằng
\[{[{x^2} - {y^2}]^2} \ge 4xy{[x - y]^2},\forall x,y.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chuyển vế và khai triển bất phương trình
Lời giải chi tiết
\[{[{x^2} - {y^2}]^2} - 4xy{[x - y]^2} \]
\[= {\left[ {\left[ {x - y} \right]\left[ {x + y} \right]} \right]^2} - 4xy{\left[ {x - y} \right]^2}\]
\[= {\left[ {x - y} \right]^2}{\left[ {x + y} \right]^2} - 4xy{\left[ {x - y} \right]^2}\]
\[= {[x - y]^2}{\rm{[[x + y}}{{\rm{]}}^2}{\rm{ - 4xy]}}\]
\[ = {\left[ {x - y} \right]^2}\left[ {{x^2} + {y^2} + 2xy - 4xy} \right]\]
\[ = {\left[ {x - y} \right]^2}\left[ {{x^2} + {y^2} - 2xy} \right]\]
\[= {[x - y]^2}{[x - y]^2} \ge 0\] [luôn đúng]
Vậy \[ {[{x^2} - {y^2}]^2} \ge 4xy{[x - y]^2},\forall x,y\]