\[\cot A = \dfrac{{\cos A}}{{\sin A}} = \dfrac{{\dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}}{{\dfrac{a}{{2R}}}}\]
Đề bài
Chứng minh rằng trong tam giác \[ABC\] ta có
\[\cot A + \cot B + \cot C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R\].
Lời giải chi tiết
\[\cot A = \dfrac{{\cos A}}{{\sin A}} = \dfrac{{\dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}}{{\dfrac{a}{{2R}}}}\]
\[= \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{abc}}R\]
Tương tự ta cũng có \[\cot B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{abc}}R ;\]
\[ \cot C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{abc}}R.\]
Từ đó suy ra \[\cot A + \cot B + \cot C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R.\]