Đề bài
Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
\[\left\{ \matrix{
{x^2} + 2x - 15 < 0 \hfill \cr
[m + 1]x \ge 3 \hfill \cr} \right.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Giải bpt đầu.
Biện luận bpt thứ hai, từ đó suy ra điều kiện có nghiệm của hệ.
Lời giải chi tiết
Ta có: x2+ 2x 15 < 0 -5 < x < 3 \[\Rightarrow {S_1} = \left[ { - 5;3} \right]\]
Ta xét bất phương trình: [m + 1]x 3 [*]
+ Nếu m = -1 thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow 0x \ge 3\] [vô lí] \[\RightarrowS_2 = Ø\]
Do đó \[{S_1} \cap {S_2} = \emptyset \] [loại]
+ Nếu m > -1 thì: \[[*] \Leftrightarrow x \ge {3 \over {m + 1}}\]
\[ \Rightarrow {S_2} = \left[ {\frac{3}{{m + 1}}; + \infty } \right]\]
Hệ có nghiệm: \[\Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{3}{{m + 1}} < 3 \Leftrightarrow 3 < 3\left[ {m + 1} \right]\\
\left[ {do\,m > - 1} \right]\\
\Leftrightarrow 3m > 0 \Leftrightarrow m > 0
\end{array}\]
Kết hợp \[m>-1\] ta được \[m>0\].
+ Nếu m < -1 thì \[[*] \Leftrightarrow x \le {3 \over {m + 1}}\] \[\Rightarrow {S_2} = \left[ { - \infty ;\frac{3}{{m + 1}}} \right]\]
Hệ có nghiệm: \[\Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{3}{{m + 1}} > - 5 \Leftrightarrow 3 < - 5\left[ {m + 1} \right]\\
\left[ {do\,m < - 1 \Rightarrow m + 1 < 0} \right]\\
\Leftrightarrow 5m + 8 < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{8}{5}
\end{array}\]
Kết hợp \[m < -1 \] ta được \[m < - \frac{8}{5}\].
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi:
\[\left[ \matrix{
m < - {8 \over 5} \hfill \cr
m > 0 \hfill \cr} \right.\]