Đề bài
Cho hình hộp ABCD.ABCD; các điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng CA và DC sao cho \[\overrightarrow {MC} - m\overrightarrow {MA} ,\,\overrightarrow {N{\rm{D}}} = m\overrightarrow {NC'} \]. Xác định m để các đường thẳng MN và BD song song với nhau. Khi ấy, tính MN biết \[\widehat {ABC} = \widehat {ABB'} = \widehat {CBB'} = {60^0}\] và BA = a, BB = b, BC = c.
Lời giải chi tiết
Xác định m:
Đặt \[\overrightarrow {BA} = \overrightarrow a ,\,\overrightarrow {BB} = \overrightarrow b ,\,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow c \] thì \[\overrightarrow {B{\rm{D}}'} = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow {c.} \]
Do \[\overrightarrow {MC} = m\overrightarrow {MA} \] nên \[\overrightarrow {BM} = {{\overrightarrow {BC} - m\overrightarrow {BA} } \over {1 - m}} = {{\overrightarrow c - m\overrightarrow a } \over {1 - m}}\]
Tương tự, ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {BN} = {{\overrightarrow {B{\rm{D}}} - m\overrightarrow {BC'} } \over {1 - m}} = {{\overrightarrow a + \overrightarrow c - m\left[ {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right]} \over {1 - m}} \cr & = {1 \over {1 - m}}\overrightarrow a - {m \over {1 - m}}\overrightarrow b + \overrightarrow c . \cr} \]
Từ đó
\[\eqalign{ & \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BM} \cr & = {{1 + m} \over {1 - m}}\overrightarrow a - {m \over {1 - m}}\overrightarrow b - {m \over {1 - m}}\overrightarrow c . \cr} \]
Do AC, BD chéo nhau và DC, BD chéo nhau nên
\[\eqalign{ & MN//B{\rm{D}}' \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {B{\rm{D}}'} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b + k\overrightarrow c \cr} \]
Mặt khác \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] không đồng phẳng nên điều ấy xảy ra khi và chỉ khi:
\[\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {{1 + m} \over {1 - m}} = k \hfill \cr - {m \over {1 - m}} = k \hfill \cr - {m \over {1 - m}} = k \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow 1 + m = - m \Leftrightarrow m = - {1 \over 2} \cr} \]
Từ đó, ta có \[k = {1 \over 3}\]
Vậy \[m = - {1 \over 2}\] thì MN // BD.
Tính MN:
Khi ấy \[\overrightarrow {MN} = {1 \over 3}\left[ {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right]\]
do đó
\[{\overrightarrow {MN} ^2} \]
hay \[M{N^2} = {1 \over 9}\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + ac + bc} \right]\]
tức là \[MN = {1 \over 3}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca} \]