Trang chủ
Sách ID
Khóa học miễn phí
Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023
Đáp án D
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Số câu hỏi: 239
Lời giải của GV Vungoi.vn
$P = {\log _a}\left[ {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right] + 12{\left[ {{{\log }_{\frac{b}{a}}}a} \right]^2} - 3$$ = {\log _a}\left[ {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right] + 12{\left[ {\dfrac{1}{{{{\log }_a}\dfrac{b}{a}}}} \right]^2} - 3$$ = {\log _a}\left[ {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right] + 12{\left[ {\dfrac{1}{{{{\log }_a}b - 1}}} \right]^2} - 3$
Ta có: $\dfrac{{3b - 1}}{4} \le {b^3}$$ \Leftrightarrow 3b - 1 \le 4{b^3}$$ \Leftrightarrow 4{b^3} - 3b + 1 \ge 0$$ \Leftrightarrow \left[ {b + 1} \right]\left[ {4{b^2} - 4b + 1} \right] \ge 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {b + 1} \right]{\left[ {2b - 1} \right]^2} \ge 0$ [luôn đúng với \[\dfrac{1}{3} < b < 1\]]
$ \Rightarrow {\log _a}\left[ {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right] \ge {\log _a}{b^3}$ [ vì \[a < 1\]] $ \Rightarrow {\log _a}\left[ {\dfrac{{3b - 1}}{4}} \right] \ge 3{\log _a}b$
Do đó $P \ge 3{\log _a}b + \dfrac{{12}}{{{{\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]}^2}}} - 3$$ \Leftrightarrow P \ge 3\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right] + \dfrac{{12}}{{{{\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]}^2}}}$ \[\left[ * \right]\]
Vì \[\dfrac{1}{3} < b < a < 1\] nên \[{\log _a}b > 1\]
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho \[3\] số dương: \[\dfrac{3}{2}\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]\], \[\dfrac{3}{2}\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]\], $\dfrac{{12}}{{{{\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]}^2}}}$
\[\dfrac{3}{2}\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right] + \dfrac{3}{2}\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right] + \dfrac{{12}}{{{{\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]}^2}}}\]\[ \ge 3.\,\sqrt[3]{{\dfrac{3}{2}\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right].\dfrac{3}{2}\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right].\dfrac{{12}}{{{{\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]}^2}}}}}\]
\[ \Leftrightarrow 3\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right] + \dfrac{{12}}{{{{\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]}^2}}} \ge 9\] \[\left[ {**} \right]\]
Từ \[\left[ * \right]\]và \[\left[ {**} \right]\] ta có \[P \ge 9\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\\dfrac{3}{2}\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right] = \dfrac{{12}}{{{{\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]}^2}}}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\{\left[ {{{\log }_a}b - 1} \right]^3} = 8\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\{\log _a}b - 1 = 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\{\log _a}b = 3\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\b = {a^3}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\a = \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{\dfrac{1}{2}}}\end{array} \right.\]
Vậy \[\min P = 9\]
Giá trị nhỏ nhất của \[P = {\left[ {{{\log }_a}{b^2}} \right]^2} + 6{\left[ {{{\log }_{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt a }}} \right]^2}\] với \[a,\,\,b\] là các số thực thay đổi thỏa mãn \[\sqrt{b}>a>1\] là:
A.
B.
C.
D.
Xét các số thực \[a,\,\,b\] thỏa mãn \[a > b > 1\]. Tìm giá trị nhỏ nhất \[{P_{\min }}\] của biểu thức \[P = \log _{\frac{a}{b}}^2\left[ {{a^2}} \right] + 3{\log _b}\left[ {\frac{a}{b}} \right]\].
A.
B.
C.
D.
Giá trị nhỏ nhất củaP=[logab2]2+6[logbaba]2với a, b là các số thực thay đổi thỏa mãn b> a>1là:
A. 30.
B. 40.
C. 50.
D. 60.
Giá trị nhỏ nhất củaP=[logab2]2+6[logbaba]2 với a, b là các số thực thay đổi thỏa mãn b> a>1là:
A. 30.
B. 40.
C. 50.
D. 60.
Đáp án chính xác
Xem lời giải