Giải phương trình lớp 10 chứa căn

Đầu chương trình đại số học kì 2 lớp 10, các bạn học sinh được tìm hiểu chương bất đẳng thức và bất phương trình. Tuy nhiên, việc giải bất phương trình đang là bài toán khiến nhiều bạn học sinh cảm thấy khó khăn vì ngoài các bất phương trình bất nhất, bậc hai thì còn xuất hiện nhiều bất phương trình chứa căn thức, chứa trị tuyệt đối. Hiểu được điều đó, Kiến Guru đã biên soạn các công thức giải bất phương trình lớp 10 để các em có thể vận dụng vào việc giải các bất phương trình từ đơn giản đến phức tạp một cách dễ dàng. 

Giải bất phương trình là một kĩ năng vô cùng quan trọng trong chương trình toán THPT vì lên lớp 11, 12 chúng ta còn sẽ gặp rất nhiều dạng toán mà muốn giải được thì cần có các kĩ năng giải bất phương trình. Hy vọng với các công thức giải bất phương trình mà Kiến Guru giới thiệu sẽ giúp các em giải quyết nhanh gọn tất cả các bài toán giải bất phương trình.

I. Các công thức giải bất phương trình lớp 10:

A/ Bất phương trình quy về bậc nhất:

Trong phần A, chúng tôi sẽ giới thiệu các công thức giải bất phương trình lớp 10 dành cho các phương trình bậc nhất. Trước khi đi vào các công thức giải các em cần phải nắm vững bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất.

1. Giải và biện luận bpt dạng ax + b < 0

1.1. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu được.

1.2. Dấu nhị thức bậc nhất

2. Bất phương trình tích

∙ Dạng: P(x).Q(x) > 0  (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)

∙ Cách giải: Lập bxd của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).

3. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.

4. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

∙ Tương tự như giải pt chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta hay sử dụng định nghĩa và tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

∙ Dạng 1:

B/ Bất phương trình quy về bậc hai:

Trong phần B, chúng tôi sẽ giới thiệu các công thức giải bất phương trình lớp 10 dành cho các phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai. Trước khi đi vào các công thức giải các em cần phải nắm vững bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất.

1. Dấu của tam thức bậc hai

Nhận xét:

2. Bất phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c > 0 (hoặc ≥ 0; < 0; ≤ 0)

Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

3. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

4. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn

Trong các dạng toán thì bất phương trình chứa căn được xem là dạng toán khó nhất. Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta cầ sử dụng kết hợp các công thức giải bất phương trình lớp 10 kết hợp với phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.

II. Bài tập giải bất phương trình lớp 10

Trong phần 2, chúng tôi xin giới thiệu các dạng bài tập vận dụng các công thức giải bất phương trình lớp 10. Các bài tập cũng được chia ra : bpt bậc nhất, bậc hai và các phương trình chứa dấu GTTĐ và chứa ẩn dưới dấu căn.

1. Bài tập về Bất Phương Trình:

Bài 1/ BPT bậc nhất

1.1. Giải các bất phương trình sau:

1.2. Giải các bất phương trình sau:

1.3. Giải các bất phương trình sau:

Bài 2/ BPT qui về bậc nhất

Giải các bất phương trình sau:

Bài 3/ BPT  bậc hai

Bài 4/ BPT  qui về bậc hai có chứa dấu GTTĐ

Giải các bất phương trình sau:

Bài 5/ BPT qui về bậc hai có chứa căn thức

   Giải các phương trình sau:

2. Bài tập về Phương Trình

Bài 1: Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa)

Bài 2. Giải các phương trình sau: (biến đổi biểu thức dưới căn)

Bài 4: Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa)

Bài 5: Giải các phương trình sau: 

3. Bài tập tổng hợp các dạng:

Trên đây là các công thức giải bất phương trình lớp 10 và kèm theo là các dạng bài tập giải bất phương trình lớp 10. Để làm tốt dạng toán giải bất phương trình, trước hết các em học sinh cần phải nắm vững các quy tắc xét dấu của tam thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Sau đó, dựa vào các công thức mà tài liệu đã giới thiệu, các em có thể áp dụng để giải các bất phương trình phức tạp hơn. Giải bất phương trình là một dạng toán rất quan trọng và theo suốt chúng ta trong chương trình toán THPT. Do đó, nó luôn xuất hiện trong các bài kiểm tra một tiết và đề thi học kì lớp 10 nên các em cần đặc biệt lưu ý trong quá trình ôn tập. Hy vong, với các công thức mà Kiến Guru giới thiệu, các bạn học sinh lớp 10 sẽ thành thạo việc giải bất phương trình và đạt điểm cao trong các bài kiểm tra sắp tới.

Tác giả Cô Hiền Trần 17:40 30/03/2022 2,579

Bất phương trình chứa căn là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán THPT. Để làm bài tập thì các em cần ghi nhớ và biết cách vận dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại các công thức và giải bất phương trình chứa căn lớp 10 qua bài viết sau đây.

Ta có công thức giải bất phương trình chứa căn như sau:

Công thức 1: 

$\sqrt{f(x)} < g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}f(x) \geq 0 \\g(x)\geq 0 \\f(x) < g^{2}(x) \end{matrix}\right.$

Hoặc nếu có dấu bằng thì ta có:

$\sqrt{f(x)} \leq  g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}f(x) \geq 0 \\g(x)\geq 0 \\f(x) \leq  g^{2}(x) \end{matrix}\right.$

Ví dụ: Giải bất phương trình: $\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}(x+y+z)$

Giải:

ĐK: $x\geq 0; y\geq 1; z\geq 2$

Phương trình tương đương:

Công thức 2:

Hoặc trường hợp có thêm dấu bằng thì ta có:

Ví dụ: Giải bất phương trình: $x^{2}+9x+20=2\sqrt{3x+10}$

ĐK: x$ \frac{-10}{3}$

=> Nghiệm của bất phương trình x= -3

2. Một số cách giải chi tiết bất phương trình chứa căn bậc hai

2.1. Phương trình và bất phương trình chứa căn thức cơ bản

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau: 

$\sqrt{x^{2}-x-12}=7-x$

Giải:

$\Rightarrow$ Nghiệm của phương trình là: $x=\frac{61}{13}$

Ví dụ 2: Tìm tập nghiệm của bất phương trình sau: $\sqrt{x-3}<2x-1$

Giải:

$\Rightarrow$ Nghiệm của bất phương trình $S=[3,\infty)$

2.2. Quy phương trình chứa căn thức về hệ phương trình không chứa căn thức

Sử dụng phương pháp đặt phụ ta quy phương trình căn thức về hệ phương trình không chứa căn thức. Ta có ví dụ sau đây:

Ví dụ: Giải phương trình sau: $\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{x+3}=\sqrt[3]{2x+1}$ (1)

Giải:

Vậy (1) có các nghiệm $x=2; x=-3; x=\frac{-1}{2}$

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: $2(x^{2}+2)=5\sqrt{x^{3}+1}$

Giải:

2.3. Sử dụng phương trình tương đương hoặc hệ quả

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{3x+1}$ (1)

Giải:

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^{2}+5x+3}-16$ (1)

Giải:

Đặt $u=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}\geq 1$

Ta có $\Leftrightarrow u^{2}=3x+4+2\sqrt{2x^{2}+5x+3}$ với $u\geq 1$ (2)

Thay (1) vào (2) ta có phương trình hệ quả sau:

$u^{2}-20=u\Leftrightarrow u^{2}-u-20=0$

$\Leftrightarrow u=5$ hoặc $u=-4 \Leftrightarrow u=5$ (do $u\geq 0$)

Từ (1) dẫn đến phương trình hệ quả:

Ta thay x = 3 vào (1) sẽ có kết quả đúng nên (1) sẽ có nghiệm x = 3

2.4. Sử dụng phương pháp chiều biến thiên hàm số

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $x^{5}+x^{3}-\sqrt{1-3x}+4=0$ (1)

Giải:

Đặt $f(x)=x^{5}+x^{3}-\sqrt{1-3x}+4$ với $x\leq \frac{1}{3}$

Khi đó (1) có dạng f(x) = 0 và miền xác định $x\leq \frac{1}{3}$

Ta có $f'(x)=5x^{4}+3x^{2}+\frac{3}{2\sqrt{1-3x}}>0\,  \forall \, x \leq \frac{1}{3}$

Vậy f(x) chính là hàm số đồng biến khi $x<\frac{1}{3}$

Ta có $f'(-1)=0$ vậy $x=-1$ là nghiệm duy nhất của (1)

Ví dụ 2: Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}+15}=3x-2+\sqrt{x^{2}+8}$ (1)

Giải:

Ta viết (1) dưới dạng $f(x)=3x-2+\sqrt{x^{2}+8}-\sqrt{x^{2}+15}=0$ (2)

Hàm số f(x) xác định với $\forall x \epsilon R$. Xét phương trình với 2 khả năng sau:

$\Rightarrow x=1$ là nghiệm duy nhất của (1)

2.5. Phương pháp đánh giá hai vế

Với phương trình $f(x)=g(x), x\in D$ ta có tính chất:

$f(x)\geq A \, \forall \, x \in D$ hoặc $g(x)\geq A \, \forall \, x \in D$

Khi đó: $f(x)=g(x) \Leftrightarrow f(x)=A$ hoặc $g(x)=A$

Để bất đẳng thức $f(x)\geq A; g(x)\leq A; \forall x \in A$ ta áp dụng các kiến thức về bất đẳng thức.

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^{2}-6x+11$ (1)

Giải:

Ta có miền xác định (1) là $D=\left \{ {x:2\leq x \leq 4} \right \}$

Ta có $x^{2}-6x+11=(x-3)^{2}+2\geq  2, \forall x \epsilon D$ thì $f^{2}(x)=2+2\sqrt{(x-2)(4-x)}\leq 2+[(x-2)+(4-x)]=4$

Do đó $f(x)\geq 0$ khi $\forall x \in D \Rightarrow f(x)\leq 2 \, \forall x\, \in D$

$\Rightarrow x^{2}-6x+11=2\Leftrightarrow x=3$  

Hoặc $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\Leftrightarrow x-2=4-x \Leftrightarrow x=3$

$\Rightarrow x=3$ nghiệm duy nhất của (1)

Ví dụ 2: Giải phương trình: 

$\sqrt{3x^{2}+6x+7}+\sqrt{5x^{2}+10x+14}=4-2x-x^{2}$

2.6. Bất phương trình chứa căn thức có tham số

Ví dụ 1: Giải phương trình: $\sqrt{x-4a+16}+2\sqrt{x-2a+4}+\sqrt{x}=0$

Giải:

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: 

$\sqrt{x^{2}+x+\frac{m^{2}}{(x-1)^{2}}=x-\frac{m}{x-1}}$ (1)

Giải:

Sau bài viết này, hy vọng các em đã nắm chắc được toàn bộ lý thuyết, công thức về bất phương trình chứa căn lớp 10, từ đó vận dụng hiệu quả vào bài tập. Ngoài ra để luyện tập thêm các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi đại học sắp tới nhé!