Lý thuyết phương trình mặt phẳng lớp 12

Lý thuyết phương trình mặt phẳng: Bài 2. Phương trình mặt phẳng. 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

* Cho mặt phẳng (P) , vectơ  \(\overrightarrow{n}\neq \overrightarrow{0}\) mà giá của nó vuông góc với mặt phẳng (P) thì \(\overrightarrow{n}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

* Cho mặt phẳng (P) , cặp vectơ  \(\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}\) không cùng phương mà giá của chúng là hai đường thẳng song song hay nằm trong mặt phẳng (P) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P). Khi đó vectơ \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right ]\). là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

* Nếu \(\overrightarrow{a}\) = (a1;  a2 ; a3) , \(\overrightarrow{b}\) = (b1 ; b2 ; b3) thì :

         \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right ]=(\begin{vmatrix} a_{2}&a_{3} \\ b_{2}& b_{3} \end{vmatrix};\begin{vmatrix} a_{3} & a_{1}\\ b_{3}&b_{1} \end{vmatrix};\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2}\\ b_{1}& b_{2} \end{vmatrix})\)

               = (a2b3 – a3b2 ; a3b1 – a1b3 ; a1b2 – a2b1).

* Mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó, hay một điểm thuộc mặt phẳng và cặp vectơ chỉ phương của nó.

2. Phương trình mặt phẳng.

* Mặt phẳng  (P) qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0)  và nhận \(\overrightarrow{n}\) (A, B, C) làm vectơ pháp tuyến có phương trình có dạng:       A(x  –  x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

* Mọi mặt phẳng trong không gian có phương trình tổng quát có dạng :

             Ax + By + Cz +D = 0  ở đó  A2+ B2 + C2  > 0.

Khi đó vectơ \(\overrightarrow{n}\)(A ; B ; C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

* Mặt phẳng đi qua ba điểm M(a ; 0 ; 0), N( 0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c) ở đó abc ≠ 0 có phương trình :\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\). Phương trình này còn được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

 Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) có phương trình :

(P1)    :    A1x + B1y  + C1z + D1 = 0;

(P2)    :    A2x + B2y  + C2z + D2 = 0.

Quảng cáo

Ta có \(\overrightarrow{n_{1}}\)(A1 ; B1 ; C1) ⊥  (P1) và \(\overrightarrow{n_{2}}\)(A2 ; B2 ; C2) ⊥  (P2) . Khi đó:

  (P1) ⊥  (P2)  ⇔ \(\overrightarrow{n_{1}}\perp \overrightarrow{n_{2}}\) ⇔ \(\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}}\)  ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

  (P1) // (P2)  ⇔  \(\overrightarrow{n_{1}}=k.\overrightarrow{n_{2}}\) và  D1 ≠ k.D2 (k ≠ 0).

  (P1) ≡ (P2)  ⇔ \(\overrightarrow{n_{1}}=k.\overrightarrow{n_{2}}\)  và  D1 = k.D2.

  (P1) cắt (P2)  ⇔  \(\overrightarrow{n_{1}}\neq k.\overrightarrow{n_{2}}\) (nghĩa là \(\overrightarrow{n_{1}}\) và \(\overrightarrow{n_{2}}\) không cùng phương).

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình:

             Ax + By + Cz +D = 0 và điểm M0 (x0 ; y0 ; z0). Khoảng cách từ M0 đến (P) được cho bởi công thức:

                        \(d(M_{0}, P)=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}\).

5. Góc giữa hai  mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) có phương trình :

(P1)    :    A1x + B1y  + C1z + D1 = 0;

(P2)    :    A2x + B2y  + C2z + D2 = 0.

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2)  thì 0 ≤ φ ≤ 900 và :

\(cos\varphi =|cos\widehat{\left (\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} \right )}|=\frac{|A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}+D|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}.\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}\).

+) Véc tơ \(\overrightarrow n \left( { \ne \overrightarrow 0 } \right)\) là một véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng \(\left( P \right)\) nếu giá của nó vuông góc với \(\left( P \right)\).

+) Hai véc tơ không cùng phương \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) được gọi là cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của \(\left( P \right)\) nếu giá của chúng nằm trong \(\left( P \right)\) hoặc song song với \(\left( P \right)\).

+) Nếu \(\overrightarrow n \) là một VTPT của \(\left( P \right)\) thì \(k.\overrightarrow n \left( {k \ne 0} \right)\) cũng là VTPT của \(\left( P \right)\), do đó một mặt phẳng có vô số VTPT.

+) Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là cặp VTCP của \(\left( P \right)\) thì \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTPT của \(\left( P \right)\).

+) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) làm VTPT thì \(\left( P \right)\) có phương trình:

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

+) Nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\) (\(a,b,c\) không đồng thời bằng \(0\)) thì phương trình \(ax + by + cz + d = 0\) là phương trình của một mặt phẳng có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\).

3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\left( Q \right):a'x + b'y + c'z + d' = 0\) có các VTPT lần lượt là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow {n'}  = \left( {a';b';c'} \right)\). Khi đó hai mặt phẳng:

- cắt nhau nếu \(\overrightarrow n  \ne k.\overrightarrow {n'} \)

- song song nếu \(\overrightarrow n  = k.\overrightarrow {n'} \) và \(d \ne k.d'\)

- trùng nhau nếu  \(\overrightarrow n  = k.\overrightarrow {n'} \) và \(d = k.d'\)

- vuông góc nếu $\overrightarrow n .\overrightarrow {n'}  = 0$.

Nếu \(a'b'c'd' \ne 0\) thì:

+) \(\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\) hoặc \(\dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\) hoặc \(\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\) thì \(\left( P \right),\left( Q \right)\) cắt nhau.

+) \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} \ne \dfrac{d}{{d'}}\) thì \(\left( P \right)//\left( Q \right)\)

+) \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} = \dfrac{d}{{d'}}\) thì \(\left( P \right) \equiv \left( Q \right)\)

+) \(a.a' + b.b' + c.c' = 0\) thì \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\).

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

- Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) là:

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

- Đặc biệt, nếu điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in \left( P \right)\) thì \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = 0\)

* Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong không gian

Cho hai mặt phẳng (P), (Q) song song trong không gian. Phương trình của chúng đều có thể đưa về dạng:

$(P): ax+by+cz+d=0$ và  $(Q): ax+by+cz+d’=0$ (a²+b²+c²>0 và d≠d’)

Cách 1:

Giả sử $M(x_0;y_0;z_0)$ thuộc mặt phẳng $(P)$. Khoảng cách giữa (P) và (Q) chính là khoảng cách giữa M và (Q). Do đó:

\(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Cách 2:

Sử dụng công thức: \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {d - d'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

5. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\left( Q \right):a'x + b'y + c'z + d' = 0\)

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) là góc có:

$\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}$

Góc giữa hai mặt phẳng là \(\alpha \) thì \(0 \le \alpha  \le {90^0} \Rightarrow 0 \le \cos \alpha  \le 1\).