Phương trình tiếp tuyến trong Oxyz

Bài viết hướng dẫn phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước trong hệ trục tọa độ Oxy, kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu phương pháp tọa độ trong mặt phẳng được đăng tải trên TOANMATH.com.

Phương pháp
Cho đường tròn $(C)$: ${\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2}$. $(C)$ có tâm $I(a;b)$ và bán kính $R$. Ta xét các dạng toán sau:

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn $(C)$ tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right).$
Giải: Gọi $Δ$ là tiếp tuyến với đường tròn $(C)$. Vì $Δ$ tiếp xúc với $(C)$ tại $M$ $⇒$ $Δ$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow {IM} \left( {{x_0}-a;{\rm{ }}{y_0}-b} \right)$ làm vectơ pháp tuyến $⇒$ phương trình $Δ$ có dạng: $\left( {{x_0}–a} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + \left( {{y_0}–a} \right)\left( {y – {y_0}} \right) = 0$ $(1).$
Chú ý: + Phương trình $(1)$ có thể biến đổi về dạng sau: $\left( {{x_0}–a} \right)\left( {x – a} \right) + \left( {{y_0}–a} \right)\left( {y – b} \right) = {R^2}$ $(1a).$ + Nếu phương trình đường tròn cho ở dạng: ${x^2} + {y^2} – 2ax – 2by + c = 0$ thì tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $M\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ có dạng: $x{x_0} + y{y_0}–\left( {x + {x_0}} \right)a – \left( {y + {y_0}} \right)b + c = 0$ $(1b)$ (Phương trình này được suy ra trực tiếp từ $(1a)$).

Cách thành lập phương trình tiếp tuyến ở dạng $(1a)$ và $(1b)$ gọi là “phương pháp phân đôi toạ độ”.