- LG a
- LG b
- LG c
Với số \[α,0 < \alpha < {\pi \over 2}\], xét điểm M của đường tròn lượng giác xác định bởi 2α , rồi xét tam giác vuông AMA [A đối xứng với A qua tâm O của đường tròn].
LG a
Tính AM2bằng hai cách khác nhau để suy ra: cos2α = 1 2sin2α
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& A{M^2} = \overline {AH} .\overline {{\rm{AA}}} {\rm{' = [}}\overline {AO} + \overline {OH} ].\overline {{\rm{AA}}'} \cr
& = [ - 1 + \cos 2\alpha ][ - 2] = 2[1 - \cos 2\alpha ] \cr} \]
Lại có:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2\alpha = \widehat {AOM} = \widehat {OA'M} + \widehat {OMA'}\\
\widehat {OA'M} = \widehat {OMA'}\left[ {\Delta OMA'\,can} \right]
\end{array} \right.\\
\Rightarrow 2\alpha = \widehat {OA'M} + \widehat {OMA'} = 2\widehat {OA'M}\\
\Rightarrow \widehat {OA'M} = \alpha \\
\Rightarrow AM = AA'\sin \widehat {AA'M} = 2\sin \alpha \\
\Rightarrow A{M^2} = 4{\sin ^2}\alpha
\end{array}\]
Vậy:
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\left[ {1 - \cos 2\alpha } \right] = 4{\sin ^2}\alpha \\
\Leftrightarrow 1 - \cos 2\alpha = 2{\sin ^2}\alpha \\
\Leftrightarrow \cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha
\end{array}\]
Cách khác:
LG b
Tính diện tích tam giác AMA bằng hai cách khác nhau để suy ra:
sin2α = 2sinα cosα
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[{S_{A'MA}} = {1 \over 2}AA'.MH = MH = \sin 2\alpha \]
Lại có:
\[{S_{A'MA}} = {1 \over 2}A'M.AM \] \[= {1 \over 2}A'A\cos \alpha .A'A\sin \alpha \]
\[= 2\sin \alpha \cos \alpha \]
Vậy: \[\sin2α = 2\sinα \cosα\]
LG c
Chứng minh: \[\sin {\pi \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } ;\] \[\cos {\pi \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \]rồi tính các giá trị lượng giác của các góc\[{{3\pi } \over 8}\] và\[{{5\pi } \over 8}\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nhân đôi vừa chứng minh ở câu a, b.
Xuất phát từ\[\cos \frac{\pi }{4},\sin \frac{\pi }{4}\] để tính\[\cos \frac{\pi }{8},\sin \frac{\pi }{8}\].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\cos {\pi \over 4} = 1 - 2{\sin ^2}{\pi \over 8}\]nên:
\[\eqalign{
& {\sin ^2}{\pi \over 8} = {1 \over 2}[1 - {{\sqrt 2 } \over 2}] = {{2 - \sqrt 2 } \over 4} \cr
& \sin {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2} \cr
&\cos \frac{\pi }{8} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\pi }{8}} \cr &= \sqrt {1 - \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}\cr
& {{3\pi } \over 8} = {\pi \over 2} - {\pi \over 8} \cr &\Rightarrow \left\{ \matrix{
\cos {{3\pi } \over 8} = \sin {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr
\sin {{3\pi } \over 8} = \cos {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr
\tan {{3\pi } \over 8} = \cot {\pi \over 8} = \sqrt 2 + 1 \hfill \cr
\cot {{3\pi } \over 8} = \tan {\pi \over 8} = \sqrt 2 - 1 \hfill \cr} \right. \cr
& {{5\pi } \over 8} = {\pi \over 2} + {\pi \over 8} \cr &\Rightarrow \left\{ \matrix{
\cos {{5\pi } \over 8} = - \sin {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr
\sin {{5\pi } \over 8} = \cos {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr
\tan {{5\pi } \over 8} = - \cot {\pi \over 8} = - \sqrt 2 - 1 \hfill \cr
\cot {{5\pi } \over 8} = - \tan {\pi \over 8} = 1 - \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]