- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
Tính
LG a
\[sin\alpha ,{\rm{ }}cos2\alpha ,{\rm{ }}sin2\alpha ,\,\cos {\alpha \over 2},\sin {\alpha \over 2}\] biết
\[\cos \alpha = {4 \over 5} \] và \[- {\pi \over 2} < \alpha < 0 \]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& - {\pi \over 2} < \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha < 0\cr& \Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = - {3 \over 5} \cr
& \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = - {{24} \over {25}} \cr
& \cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = {7 \over {25}} \cr
& \cos {\alpha \over 2} = \sqrt {{{1 + \cos \alpha } \over 2}} = {{3\sqrt {10} } \over {10}};\cr&\sin {\alpha \over 2} =- \sqrt {{{1 - \cos \alpha } \over 2}} = - {{\sqrt {10} } \over {10}} \cr} \]
LG b
\[\tan [{\pi \over 4} - \alpha ]\]biết
\[\left\{ \matrix{
\cos \alpha = - {9 \over {11}} \hfill \cr
\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2} \hfill \cr} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Vì \[\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2} \Rightarrow \tan \alpha > 0\]
Do đó:
\[\eqalign{
& \tan \alpha = \sqrt {{1 \over {{{\cos }^2\alpha }}} - 1} = {{2\sqrt {10} } \over 9} \cr
& \tan [{\pi \over 4} - \alpha ] = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan \alpha }}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}\tan \alpha }}\cr &= {{1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }} = {{121 - 36\sqrt {10} } \over {41}} \cr} \]
LG c
\[{\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha \] biết \[\cos2\alpha = {3 \over 5}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& {\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha \cr &= [{\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha ][{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha ] \cr
& = {\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha = - \cos 2\alpha = - {3 \over 5} \cr} \]
LG d
\[\cos [\alpha - \beta ]\] biết \[\left\{ \matrix{
\sin \alpha - \sin \beta = {1 \over 3} \hfill \cr
\cos \alpha - \cos \beta = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& {[\sin \alpha - \sin \beta ]^2} = {[{1 \over 3}]^2}\cr& \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta - 2\sin \alpha \sin \beta = {1 \over 9}\,\,[1]\cr
& {[cos\alpha - \cos \beta ]^2} = {[{1 \over 2}]^2}\cr& \Rightarrow {\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta - 2\cos \alpha \cos \beta = {1 \over 4}\,\,[2] \cr} \]
Cộng từng vế của [1] và [2], ta được:
\[1 + 1 - 2[cos\alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta ] \] \[= {1 \over 9} + {1 \over 4} = {{13} \over {36}}\]
Từ đó: \[\cos [\alpha - \beta ] = {{59} \over {72}}\]
LG e
\[\sin {\pi \over {16}}\sin {{3\pi } \over {16}}\sin {{5\pi } \over {16}}\sin {{7\pi } \over {16}}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& \sin {\pi \over {16}}\sin {{3\pi } \over {16}}\sin {{5\pi } \over {16}}\sin {{7\pi } \over {16}}\cr& = \sin {\pi \over {16}}\sin {{3\pi } \over {16}}\sin [{\pi \over 2} - {{3\pi } \over 6}]\sin [{\pi \over 2} - {\pi \over {16}}] \cr
& = \sin {\pi \over {16}}\sin {{3\pi } \over {16}}\cos {{3\pi } \over {16}}\cos {\pi \over {16}}\cr& = [{1 \over 2}\sin {\pi \over 8}][{1 \over 2}\sin {{3\pi } \over 8}] \cr
& = {1 \over 4}\sin {\pi \over 8}\sin [{\pi \over 2} - {\pi \over 8}] \cr&= {1 \over 4}sin{\pi \over 8}\cos {\pi \over 8} = {1 \over 8}\sin {\pi \over 4} = {{\sqrt 2 } \over {16}} \cr} \]