Chứng minh phương trình có 3 nghiệm với mọi m
|
Bài toán về số nghiệm của phương trìnhCâu 1. Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phânbiệt trong khoảng (–2; 5).Xét hàm số f ( x ) = x 5 − 3 x 4 + 5x − 2 ⇒ f liên tục trên R.Ta có: f (0) = −2, f (1) = 1, f (2) = −8, f (4) = 16⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ (0;1)f (1). f (2) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ (1;2)f (2). f (4) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3 ∈ (2; 4)⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).Câu 2. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [0; 1]:x 3 + 5x − 3 = 0 .Xét hàm số f ( x ) = x 3 + 5x − 3 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.f (0) = −3, f (1) = 3 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng(0;1) .Câu 3. Chứng minh rằng phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x 3 + 1000 x + 0,1 = 0Xét hàm số f ( x ) = x 3 + 1000 x + 0,1 ⇒ f liên tục trên R.f (0) = 0,1 > 0⇒ f (−1). f (0) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệmf (−1) = −1001 + 0,1 < 0 c ∈ (−1; 0)Câu 4. Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:6 x 3 − 3x 2 − 6 x + 2 = 0 .Xét hàm số f ( x ) = 6 x 3 − 3 x 2 − 6 x + 2 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.• f (−1) = −1, f (0) = 2 ⇒ f (−1). f (0) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ (−1; 0)• f (0) = 2, f (1) = −1 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ (0;1)• f (1) = −1, f (2) = 26 ⇒ f (1). f (2) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có một nghiệm c3 ∈ (1;2)• Vì c1 ≠ c2 ≠ c3 và PT f ( x ) = 0 là phương trình bậc ba nên phương trình có đúng banghiệm thực.Toán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinhCâu 5. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm:5x 5 − 3x 4 + 4 x3 − 5 = 0Với PT: 5 x 5 − 3 x 4 + 4 x 3 − 5 = 0 , đặt f ( x ) = 5 x 5 − 3 x 4 + 4 x 3 − 5f(0) = –5, f(1) = 1 ⇒ f(0).f(1) < 0⇒ Phuơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)Câu 6. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2 x 3 − 10 x − 7 = 0Xét hàm số: f(x) = 2 x 3 − 10 x − 7 ⇒ f(x) liên tục trên R.• f(–1) = 1, f(0) = –7 ⇒ f ( −1) . f ( 0 ) < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộcc1 ∈ ( −1;0 )• f(0) = –7, f(3) = 17 ⇒ f(0).f(3) < 0 ⇒ phương trình có nghiệm c2 ∈ ( 0;3)• c1 ≠ c2 nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực.Câu 7. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2 x 3 − 5x 2 + x + 1 = 0 .Xét hàm số: f ( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 + x + 1 ⇒ Hàm số f liên tục trên R.Ta có:+f (0) = 1 > 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ (0;1) .f (1) = −1 +f (2) = −1 < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ (2;3) .f (3) = 13 > 0 Mà c1 ≠ c2 nên PT f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm.Câu 8. Chứng minh rằng phương trình: (1 − m2 ) x 5 − 3 x − 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.Xét hàm số f ( x ) = (1 − m 2 ) x 5 − 3 x − 1 ⇒ f(x) liên tục trên R.Ta có: f (−1) = m 2 + 1 > 0, ∀ m; f (0) = −1 < 0, ∀ m ⇒ f (0). f (1) < 0, ∀m⇒ Phương trình có ít nhất một nghiệm c ∈ (0;1) , ∀mCâu 9. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: x 5 − x 2 − 2 x − 1 = 0Đặt f ( x ) = x 5 − x 2 − 2 x − 1 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.Toán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinhf(0) = –1, f(2) = 23 ⇒ f(0).f(1) < 0⇒ f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1)Câu 10. Chứng minh rằng phương trình x 4 + x 3 − 3 x 2 + x + 1 = 0 có nghiệm thuộc (−1;1) .Xét hàm số f ( x ) = x 4 + x 3 − 3 x 2 + x + 1 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.• f (−1) = −3, f (1) = 1 ⇒ f (−1). f (1) < 0 nên PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc(–1; 1).Câu 11. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm:cos2 x − x = 0 πĐặt f(x) = cos2 x − x ⇒ f(x) liên tục trên (0; +∞) ⇒ f(x) liên tục trên 0; 2π π πf (0) = 1, f ÷ = −⇒ f (0). f ÷ < 0222 πVậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên 0; ÷ 2Câu 12. Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3 x − 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (–1; 2).Gọi f ( x ) = x 5 − 3 x − 1 ⇒ f ( x ) liên tục trên Rf(0) = –1, f(2) = 25 ⇒ f (0). f (2) < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm c1 ∈ ( 0;2 )f(–1) = 1, f(0) = –1 ⇒ f(–1).f(0) < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm c2 ∈ (−1; 0)c1 ≠ c2 ⇒ PT có ít nhất hai nghiệm thực thuộc khoảng (–1; 2)Câu 13. Chứng minh rằng phương trình : x 5 − 3 x = 1 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2).Gọi f ( x ) = x 5 − 3 x − 1 liên tục trên Rf (−1) = 1, f (0) = −1 ⇒ f (−1). f (0) < 0⇒ phương trình dã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (–1; 0)Câu 14. Chứng minh rằng phương trình 3 x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộckhoảng (–1; 1).Gọi f ( x ) = 3 x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 ⇒ f ( x ) liên tục trên RToán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinhf(–1) = 5, f(0) = –1 ⇒ f(–1).f(0) < 0 ⇒ f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ (−1; 0)f0) = –1, f(1) = 1 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ (0;1)c1 ≠ c2 ⇒ phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng ( –1; 1)Câu 15. Chứng minh phương trình: 2 x 4 + 4 x 2 + x − 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc (–1; 1).Gọi f ( x ) = 2 x 4 + 4 x 2 + x − 3 ⇒ f ( x ) liên tục trên Rf(–1) = 2, f(0) = –3 ⇒ f(–1).f(0) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ (−1; 0)f(0) = –3, f(1) = 4 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ (0;1)Mà c1 ≠ c2 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhát hai nghiệm thuộc khoảng (−1;1) .Câu 16. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:(9 − 5m) x 5 + (m 2 − 1) x 4 − 1 = 0Gọi f ( x ) = (9 − 5m) x 5 + (m 2 − 1) x 4 − 1 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.25 3f (0) = −1, f (1) = m − ÷ + ⇒ f (0). f (1) < 02 4⇒ Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1) với mọi mCâu 17. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:m( x − 1)3 ( x + 2) + 2 x + 3 = 0Gọi f ( x ) = m( x − 1)3 ( x + 2) + 2 x + 3 ⇒ f ( x ) liên tục trên Rf(1) = 5, f(–2) = –1 ⇒ f(–2).f(1) < 0⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c ∈ (−2;1), ∀m ∈ RCâu 18. Chứng minh rằng phương trình x 3 − 2mx 2 − x + m = 0 luôn có nghiệm với mọi m.Xét hàm số f ( x ) = x 3 − 2mx 2 − x + m ⇒ f(x) liên tục trên R.• f (m) = −m3 , f (0) = m ⇒ f (0). f (m) = − m 4• Nếu m = 0 thì phuơng trình có nghiệm x = 0• Nếu m ≠ 0 thì f (0). f (m) < 0, ∀m ≠ 0 ⇒ phương trình luôn có ít nhát một nghiệm thuộc (0;m) hoặc (m; 0).Vậy phương trình x 3 − 2mx 2 − x + m = 0 luôn có nghiệm.Toán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinhCâu 20. Chứng minh phương trình x 3 − 3 x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt .Xét hàm số f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 ⇒ f(x) liên tục trên R.• f(–2) = –1, f(0) = 1 ⇒ phuơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ ( −2; 0 )• f(0) = 1, f(1) = –1 ⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ ( 0;1)• f(1) = –1, f(2) = 3 ⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c3 ∈ ( 1;2 )• Phương trình đã cho là phương trình bậc ba, mà c1 , c2 , c3 phân biệt nên phươngtrình đã cho có đúng ba nghiệm thực.Câu 21. Cho y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 . Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệmphân biệt.Xét hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 ⇒ f(x) liên tục trên R.• f(–1) = –2, f(0) =2 ⇒ f(–1).f(0) < 0 ⇒ phương trình f(x) = 0 có nghiệmc1 ∈ ( −1; 0 )• f(1) = 0 ⇒ phương trình f(x) = 0 có nghiệm x = 1 ≠ c1• f(2) = –2, f(3) = 2 ⇒ f ( 2 ) . f ( 3) < 0 nên phương trình có một nghiệm c2 ∈ ( 2;3)Mà cả ba nghiệm c1 , c2 ,1 phân biệt nên phương trình đã cho có ba nghiệm thực phân biệtCâu 22. Chứng minh rằng phương trình x 3 + 3 x 2 − 4 x − 7 = 0 có ít nhất một nghiệm trongkhoảng (–4; 0).Xét hàm số f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 7 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.• f(–3) = 5, f(0) = –7 ⇒ f (−3). f (0) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (–3;0).• (−3; 0) ⊂ (−4; 0) ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (–4; 0).Toán Tuyển Sinh Groupwww.facebook.com/groups/toantuyensinh
+) Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (a; b). +) Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm. - Bước 1: Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f(x) = 0. - Bước 2: Tìm 2 số a và b (a < b) sao cho f(a) . f(b) < 0 - Bước 3: Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b). Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự. +) Một số chú ý: - Nếu f(a).f(b) ≤ 0 thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc [a; b]. - Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; + ∞) và có f(a) .  - Nếu hàm số f(x) liên tục trên (-∞; a] và có f(a) . Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình x3 + x - 1 = 0 có nghiệm. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = x3 + x - 1 Hàm f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R (định lý cơ bản về tính liên tục) Suy ra hàm f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] (vì [0; 1] ⊂R) (1) Ta có: f(0) = 03 + 0 – 1 = - 1 ; f(1) = 13 + 1 – 1 = 1 ⇒ f(0) . f(1) = - 1. 1 = - 1 < 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) (tính chất hàm số liên tục). Vậy phương trình x3 + x - 1 = 0 có nghiệm (đpcm). Ví dụ 2: Chứng minh 4x4 + 2x2 - x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1; 1). Hướng dẫn giải: + Đặt f(x) = 4x4 + 2x2 - x - 3 Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R. Suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1]. + Ta có: f(-1) = 4.(-1)4 + 2.(-1)2 - (-1) - 3 = 4 f(0) = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3 f(1) = 4.14 + 2.12 - 1 - 3 = 2 + Vì f(-1).f(0) = 4.(-3) = -12 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1; 0) Vì f(0) . f(1) = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) Mà hai khoảng (-1; 0) và (0; 1) không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc (-1; 1). (đpcm) Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình x5 - 5x3 + 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = x5 - 5x3 + 4x - 1 thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức). Ta có: Vì Vì Vì Vì Vì f(1) . f(3) = -1 . 119 = -119 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 3). Do các khoảng Mà phương trình f(x) = 0 có bậc là 5, nên nó có không quá 5 nghiệm Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 5 nghiệm (đpcm). Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình (m2 - m + 3)x2n - 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = (m2 - m + 3)x2n - 2x - 4 Ta có: Mặt khác hàm số f(x) xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0] Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2; 0). Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm. Hướng dẫn giải: Đặt f(x) = x3 + ax2 + bx + c thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức). Ta có: Tương tự: Như vậy có x1 ; x2 để f(x1) . f(x2) < 0 suy ra phương trình có nghiệm x ∈ (x1; x2) Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a, b, c.
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
