Đề bài
Trong hệ toạ độ \[Oxyz\], cho điểm \[M[2 ; 1 ; 0]\] và mặt phẳng \[[α]: x + 3y - z - 27 = 0\]. Tìm toạ độ điểm \[M'\] đối xứng với \[M\] qua \[[α]\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[M\] lên mặt phẳng \[[α]\] và \[M'\] là điểm đối xứng của \[M\] qua \[[α]\] thì \[H\] là trung điểm của đoạn thẳng \[MM'\].
+] Xác định tọa độ hình chiếu H của M trên mặ phẳng \[[\alpha]\].
+] Xác định tọa độ điểm M': \[\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M}\\{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M}\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết
Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[M\] lên mặt phẳng \[[α]\] và \[M'\] là điểm đối xứng của \[M\] qua \[[α]\] thì \[H\] là trung điểm của đoạn thẳng \[MM'\]. Xét đường thẳng \[\] qua \[M\] và \[\] vuông góc với \[[α]\].
Phương trình \[\] đi qua M và nhận \[{\overrightarrow n _{\left[ \alpha \right]}} = \left[ {1;3; - 1} \right]\] là 1 VTCP có dạng:\[\left\{ \matrix{x = 2 + t \hfill \cr y = 1 + 3t \hfill \cr z = - t \hfill \cr} \right.\]
Gọi\[H = \Delta \cap \left[ \alpha \right] \Rightarrow H\left[ {2 + t;1 + 3t; - t} \right]\]
Thay tọa độ điểm H vào phương trình \[[\alpha]\] ta được: \[2+t+3[1+3t]-[-t]-27=0\Rightarrow 11t=22 \Rightarrow t=2\]
\[\Rightarrow H[4; 7; -2]\]
\[M\] và \[M'\] đối xứng nhau qua \[[α]\] nên H là trung điểm của MM'
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = 6\\
{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = 13\\
{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = - 4
\end{array} \right. \Rightarrow M'\left[ {6;13; - 4} \right]\]