Đề bài
Hình chóp \[S.ABC\] có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh \[SA, SB, SC\] và tiếp xúc với ba cạnh \[AB, BC, CA\] tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chóp tam giác đều là chóp có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Gọi \[M, N, P\] theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh \[SA, SB, SC\]; \[D, E, F\] theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \[AB, BC, CA\], các điểm \[D, E, F\] đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh \[AB, BC, CA\].
Ta có:
\[AD = AF\] [Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau] \[\Rightarrow AB = AC\]
Tương tự: \[BD = BE \Rightarrow BC = AB\]
\[\Rightarrow AB = BC = CA\] hay \[ABC\] là tam giác đều [1]
Lại có \[AM = AD; BN = BD = AD\]
và \[SM = SN = SP\]
\[\Rightarrow SM + AM = SN + NB\] hay \[SA = SB\]
Chứng minh tương tự ta có: \[SA = SB = SC\]. [2]
Từ [1] và [2] suy ra hình chóp \[S.ABC\] là chóp tam giác đều.