Đề bài
Kẻ các đường cao \[AA, BB, CC\] của tam giác nhọn \[ABC.\]
a] Chứng minh rằng \[B'C' = 2R\sin A\cos A\].
b] Lấy \[A_1, A_2\]lần lượt là điểm đối xứng với \[A\] qua \[AB, AC\]. Chứng minh rằng chu vi tam giác \[ABC\] bằng độ dài đoạn thẳng \[A_1A_2\].
c] Chứng minh hệ thức:
\[\sin A\cos A + \sin B\cos B + \sin C\cos C \]
\[= 2\sin A\sin B\sin C\].
Lời giải chi tiết
[h.60].
a] Ta có
\[AB=AB\cos A=2R \sin C \cos A.\]
Trong tam giác \[ABC\] có \[\dfrac{{B'C'}}{{\sin A}} = \dfrac{{AB'}}{{\sin C'}}\].
Nhưng \[\widehat {AC'B'} = \widehat C\] [do \[BCBC\] là tứ giác nội tiếp], suy ra \[\dfrac{{B'C'}}{{\sin A}} = \dfrac{{AB'}}{{\sin C}}\].
Từ đó suy ra
\[B'C' = \dfrac{{AB'\sin A}}{{\sin C'}}\]
\[= \dfrac{{2R\sin C\cos A\sin A}}{{\sin C}}\]
\[= 2R\sin A\cos A\].
b] Ta có \[\widehat {{A_1}C'B} = \widehat {BC'A'}\] [do \[A_1, A\] đối xứng với nhau qua \[AB\]].
\[\widehat {BC'A'} = \widehat {AC'B'}\] [do \[ACAC\] và \[BCBC\] cùng là tứ giác nội tiếp].
Suy ra \[\widehat {{A_1}C'B} = \widehat {B'C'A}\]. Vậy \[A_1, C, B\] thẳng hàng và \[A_1C=AC.\]
Tương tự cũng có \[C, B, A_2\]thẳng hàng và \[BA_2=BA.\]
Do đó, chu vi tam giác \[ABC\] bằng
\[AC+CB+BA\]
\[=A_1C+CB+BA_2=A_1A_2\].
c] Do \[A_1\]và \[A\] đối xứng nhau qua \[AB\] nên \[A{A_1} = AA' , \widehat {{A_1}AB} = \widehat {BAA'}\]; \[A_2\]và \[A\] đối xứng nhau qua \[AC\] nên \[A{A_2} = AA' , \widehat {A'AC} = \widehat {CA{A_2}}\]. Do đó tam giác \[AA_1A_2\] là tam giác cân có góc ở đỉnh \[\widehat {{A_1}A{A_2}} = 2\widehat A\]. Kẻ \[AK\] vuông góc với \[A_1A_2\], ta có
\[A_1A_2=2A_1K\]
\[=2AA_1 \sin A=2AA\sin A\]
\[=2AB\sin B\sin A\]
\[=4R\sin C\sin B\sin A.\]
Mặt khác theo câu a], ta có
\[BC+BA+AC\]
\[=2R \sin A \cos A+2R \sin C \cos C\]\[+2R \sin B \cos B.\]
Từ đó suy ra hệ thức cần chứng minh.