Đề bài
Cho tứ diệm ABCD trong đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng α. Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh AC, đặt AM = x [0< x < AC]. Xét mặt phẳng [P] đi qua điểm M và song song với AB, CD.
a] Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mp[P] đạt giá trị lớn nhấ.
b] Chứng minh rằng chu vi thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi AB = CD.
Lời giải chi tiết
a] Dễ thấy thiết diện là hình bình hành MNPQ và \[{S_{MNPQ}} = NM.NQ.\sin \widehat {MNQ}\] .
Do MN // AB, NQ // CD nên góc giữa MN và NQ bằng góc giữa AB và CD do đó \[\sin \widehat {MNQ} = \sin \alpha \] .
Ta có:
\[\eqalign{& {{MN} \over {AB}} = {{AC - x} \over {AC}} \Rightarrow MN = {{AB} \over {AC}}\left[ {AC - x} \right] \cr
& NQ = M{\rm{R}},{{M{\rm{R}}} \over {C{\rm{D}}}} = {{AM} \over {AC}} = {x \over {AC}} \cr
& \Rightarrow M{\rm{R}} = {{C{\rm{D}}} \over {AC}}x \cr} \]
Vậy \[{S_{MNQR}} = {{AB.CD} \over {A{C^2}}}\left[ {AC - x} \right]x\sin \alpha \].
Từ đó diện tích thiết diện MNQR đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \[x = {{AC} \over 2}\].
Như vậy, khi M là trung điểm của AC thì diện tích thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi [P] đạt giá trị lớn nhất.
b] Gọi P là nửa chu vi của thiết diện, khi đó:
\[\eqalign{ & p = MN + M{\rm{R}} = {{AB} \over {AC}}\left[ {AC - x} \right] + {{C{\rm{D}}} \over {AC}}x \cr & = {{C{\rm{D}} - AB} \over {AC}}x + AB \cr} \]
Từ đó, chu vi thiết diện không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi:
\[CD AB = 0\] hay \[AB = CD.\]