Đề bài
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số\[y = - {x^4} + 2{x^2}+ 3.\]
Bằng đồ thị, biện luận theo \[m\] số nghiệm của phương trình\[- {x^4} + 2{x^2}+ 3=m.\]
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số\[y = - {x^4} + 2{x^2}+ 3.\]
1.TXĐ: \[D = \mathbb R\].
2. Sự biến thiên:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr} \]
\[y = - 4{x^3}\; + {\rm{ }}4x.\]Cho \[y = 0 x = 0\] hoặc \[x = ±1.\]
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên:\[\left[ { - \infty , - 1} \right];\;\left[ {0,1} \right].\]
Hàm số nghịch biến trên:\[\left[ { - 1,0} \right]{\rm{; }}\left[ {1, + \infty } \right].\]
Hàm số đạt cực đại bằng 4 tại \[x = -1\] và \[x = 1.\]
Hàm số đạt cực tiểu bằng 3 tại \[x = 0.\]
Đồ thị
* Giải biện luận phương trình\[- {x^4} + 2{x^2}+ 3=m.\]
Số giao điểm của hai đồ thị \[y = - {x^4} + 2{x^2}+ 3\]và \[y = m\] là số nghiệm của phương trình trên.
Với \[m > 4\]Hai đồ thị không giao nhau nên phương trình vô nghiệm.
Với \[m = 4\]hoặc\[m < 3:\]Hai đồ thị giao nhau tại 2 điểm phân biệt nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Với \[m = 3\]. Hai đồ thị giao nhau tại 3 điểm phân biệt nên phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Với\[3 < m < 4:\]Hai đồ thị giao nhau tại 4 điểm phân biệt nên phương trình có bốn nghiệm phân biệt.