Đề bài
Tìm các điểm trên hypebol \[[H]: 4{x^2} - {y^2} - 4 = 0\] thỏa mãn
a] Nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông;
b] Nhìn hai tiêu điểm dưới góc \[120^0;\]
c] Có tọa độ nguyên.
Lời giải chi tiết
Viết lại phương trình của \[[H]: \dfrac{{{x^2}}}{1} - \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\].
\[{a^2} = 1 \Rightarrow a = 1 , \] \[ {b^2} = 4 \Rightarrow b = 2 ,\] \[ {c^2} = {a^2} + {b^2} = 5 \Rightarrow c = \sqrt 5 ,\] \[ e = \dfrac{c}{a} = \sqrt 5 \].
\[[H]\] có các tiêu điểm : \[{F_1}[ - \sqrt 5 ; 0] , \] \[ {F_2}[\sqrt 5 ; 0]\].
a] Gọi \[M[x ; y]\] là điểm cần tìm. Ta có:
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {{F_1}M} = \left[ {x + \sqrt 5 ; y} \right] , \\ \overrightarrow {{F_2}M} = \left[ {x - \sqrt 5 ; y} \right]\\{F_1}M \bot {F_2}M \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_1}M} .\overrightarrow {{F_2}M} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {x + \sqrt 5 } \right]\left[ {x - \sqrt 5 } \right] + {y^2} = 0 \\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\\M \in [H] \Leftrightarrow 4{x^2} - {y^2} - 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2] \end{array}\].
Giải hệ [1] và [2] ta được: \[x = \pm \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} , y = \pm \dfrac{4}{{\sqrt 5 }}\].
Vậy bốn điểm cần tìm là : \[\left[ { \pm \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} ; \pm \dfrac{4}{{\sqrt 5 }}} \right]\].
b] Gọi \[N[x ; y]\] là điểm cần tìm.
\[N \in [H] \Rightarrow |N{F_1} - N{F_2}| = 2a = 2\].
Trong tam giác \[F_1NF_2\], ta có
\[\begin{array}{l}{F_1}{F_2}^2 = {F_1}{N^2} + {F_2}{N^2}\\ - 2.{F_1}N.{F_2}N.\cos \widehat {{F_1}N{F_2}}\\ = {[{F_1}N - {F_2}N]^2} + 2.{F_1}N.{F_2}N\\ - 2{F_1}N.{F_2}N.\cos {120^0}\\= 4 + 3{F_1}N.{F_2}N\\ = 4 + 3.|a + ex|.|a - ex|\\= 4 + 3|{a^2} - {e^2}{x^2}|\\ \Rightarrow 4{c^2} = 4 + 3|1 - 5{x^2}|\\ \Leftrightarrow 4.5 = 4 + 3|1 - 5{x^2}|\\ \Leftrightarrow |1 - 5{x^2}| = \dfrac{{16}}{3} \\ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{19}}{{15}} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt { \dfrac{{19}}{{15}}} \end{array}\]
Thay \[x = \pm \sqrt { \dfrac{{19}}{{15}}} \] vào phương trình của [H], ta được \[y = \pm \dfrac{4}{{\sqrt {15} }}\].
Vậy có bốn điểm cần tìm là: \[\left[ { \pm \sqrt { \dfrac{{19}}{{15}}} ; \pm \dfrac{4}{{\sqrt {15} }}} \right]\].
c] Do \[[H]\] nhận \[Ox, Oy\] là các trục đối xứng, nên ta chỉ xét những điểm \[[x ; y]\] của \[[H]\] mà : \[x. y\] nguyên, \[x \ge 0 , y \ge 0\], rồi sau đó ta tìm những điểm đối xứng với những điểm này qua trục \[Ox\] và \[Oy.\]
Ta có
\[4{x^2} - {y^2} - 4 = 0 \]
\[ \Leftrightarrow [2x - y][2x + y] = 4\] [1].
Do \[2x-y, 2x+y\] nguyên, \[2x + y \ge 0\] và \[2x + y \ge 2x - y\], nên từ [1] ta có các trường hợp :
\[\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\2x + y = 4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2] , \\ \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 2\\2x + y = 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[3]\]
Hệ [2] không có nghiệm nguyên, hệ [3] có một nghiệm nguyên là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\].
Vậy những điểm trên \[[H]\] có tọa độ nguyên là : \[[1 ; 0], [-1 ; 0].\]