Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại B. Lấy điểm D bất kì trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng [ABC] kẻ từ điểm A \[[S A]\]. Gọi B1, C1lần lượt là hình chiếu của điểm A trên SB và SC. Chứng minh rằng khi điểm S thay đổi thì
a] Giao tuyến của mặt phẳng [ABC] và mặt phẳng [AB1C1] là đường thẳng cố định và là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b] Đường thẳng B1C1đi qua điểm cố định I và \[\widehat {IAB} = \widehat {IC{\rm{A}}}\].
Lời giải chi tiết
a] Dễ chứng minh được \[SC \bot \left[ {A{B_1}{C_1}} \right]\]. Gọi At là giao tuyến của [ABC] và [AB1C1] thì \[At \bot SC\]. Mặt khác \[SA \bot \left[ {ABC} \right]\] nên \[At \bot AC\]. Vậy đường thẳng At là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b] Kí hiệu I là giao điểm của At và đường thẳng BC thì I là điểm có định, mặt khác các điểm I, B1, C1thuộc cả hai mặt phẳng [AB1C1] và [SBC], do đó các điểm I, B1, C1thẳng hàng, tức là đường thẳng B1C1đi qua điểm cố định I khi S thay đổi trên đường thẳng kẻ từ A vuông góc với mp[ABC].
Cũng từ chứng minh trên ta có \[\widehat {IAB} = \widehat {IC{\rm{A}}}\] [cùng chắn cung AB của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC].