- LG a
- LG b
- LG c
Giải các hệ phương trình
LG a
\[\left\{ \matrix{
{x^2} - 5xy + {y^2} = 7 \hfill \cr
2x + y = 1 \hfill \cr} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Từ phương trình thứ hai của hệ, ta được \[y = 1- 2x\]
Thay vào phương trình thứ nhất ta được:
\[\eqalign{
& {x^2} - 5x[1 - 2x] + {[1 - 2x]^2} = 7 \cr
& \Leftrightarrow 15{x^2} - 9x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - {2 \over 5} \hfill \cr} \right. \cr} \]
+ Với \[x = 1\] thì \[y = 1 2.1 = -1\]
+ Với \[x = - {2 \over 5} \Rightarrow y = 1 - 2.[ - {2 \over 5}] = {9 \over 5}\]
Vậy hệ có hai nghiệm: \[[-1, 1]\] và \[[ - {2 \over 5};\,{9 \over 5}]\]
LG b
\[\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + x + y = 8 \hfill \cr
x + y + xy = 5 \hfill \cr} \right.\]
Lời giải chi tiết:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\
x + y + xy = 5
\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left[ {x + y} \right]^2} - 2xy + \left[ {x + y} \right] = 8\\
\left[ {x + y} \right] + xy = 5
\end{array} \right.\]
Đặt \[S = x + y; P = xy\]. Ta có:
\[\left\{ \matrix{
{S^2} - 2P + S = 8 \hfill \cr
S + P = 5 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = 5 - S\\
{S^2} - 2\left[ {5 - S} \right] + S = 8
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 - S \hfill \cr
{S^2} + 3S - 18 = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = 5 - S\\
\left[ \begin{array}{l}
S = 3\\
S = - 6
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 3 \hfill \cr
P = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = - 6 \hfill \cr
P = 11 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\]
+ Với S = 3, P = 2 thì [x;y] là hai nghiệm của phương trình
\[{X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
X = 1\\
X = 2
\end{array} \right.\]
Do đó [x;y]=[2, 1] hoặc [1, 2].
+ Với S = -6, P = 11 vô nghiệm do S2 4P < 0.
Vậy hệ có nghiệm [2;1] và [1;2].
LG c
\[\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} - x + y = 2 \hfill \cr
xy + x - y = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Lời giải chi tiết:
\[HPT \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left[ {x - y} \right]^2} + 2xy - \left[ {x - y} \right] = 2\\
xy + \left[ {x - y} \right] = - 1
\end{array} \right.\]
Đặt \[S = x - y; P = xy\]. Ta có:
\[\left\{ \matrix{
{S^2} + 2P - S = 2 \hfill \cr
P + S = - 1 \hfill \cr} \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = - 1 - S\\
{S^2} + 2\left[ { - 1 - S} \right] - S = 2
\end{array} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = -1 - S \hfill \cr
{S^2} - 3S - 4 = 0 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = - 1 \hfill \cr
P = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = 4 \hfill \cr
P = - 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\]
+ Với \[S = -1, P = 0\] thì
\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - y = - 1\\
xy = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + \left[ { - y} \right] = -1\\
x.\left[ { - y} \right] = 0
\end{array} \right.\]
Do đó, \[x, -y\] là nghiệm phương trình:
\[{X^2} + X = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 0 \hfill \cr
X = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Khi đó
\[\left[ \begin{array}{l}
\left[ {x; - y} \right] = \left[ {0; - 1} \right] \Rightarrow \left[ {x;y} \right] = \left[ {0;1} \right]\\
\left[ {x; - y} \right] = \left[ { - 1;0} \right] \Rightarrow \left[ {x;y} \right] = \left[ { - 1;0} \right]
\end{array} \right.\]
+ Với \[S = 4, P = -5\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - y = 4\\
xy = - 5
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + \left[ { - y} \right] = 4\\
x.\left[ { - y} \right] = 5
\end{array} \right.\]
Do đó, \[ x; -y\] là nghiệm phương trình:
X2 4X + 5 = 0 [vô nghiệm]
Vậy hệcó nghiệm [0, 1] và [-1, 0]