Đề bài
Cho đường tròn [O] có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.
Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi [I], [K] theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
a] Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: [I] và [O]; [K] và[O]; [I] và [K].
b] Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?
c] Chứng minh đẳng thức \[AE.AB = AF.AC\]
d] Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn [I] và [K]
e] Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Vị trí tương đối của hai đường tròn [O;R] và [O';r] [\[R \ge r\] ]
- TH1: 2 đường tròn cắt nhau [có 2 điểm chung] khi và chỉ khi : R - r < OO' < R + r
- TH2: 2 đường tròn tiếp xúc nhau [1 điểm chung]
+] Tiếp xúc trong khi và chỉ khi OO' = R - r >0
+] Tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi OO' = R + r
b] Chứng minh tứ giác có ba góc vuông dựa vào kiến thức : Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm."
c] Dùng hệ thức lượng về chiều cao và độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền : \[{h^2} = b'.c'\]
d] Chứng minh 1 đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn thì ta chứng minh cho đường thẳng đó vuông góc với bán kính tại 1 điểm thuộc đường tròn.
e] Biểu diễn độ dài \[EF\] theo độ dài của \[AH\] rồi biện luận để tìm vị trí của dây đó vuông góc với \[BC\].
Lời giải chi tiết
a] \[OI = OB IB\] nên [I] tiếp xúc trong với [O]
\[OK = OC KC\] nên [K] tiếp xúc trong với [O]
\[IK = IH + KH\] nên [I] tiếp xúc ngoài với [K]
b] Vì \[HE \bot AB\] [gt]
\[ \Rightarrow \widehat {A{\rm{E}}H} = {90^0}\]
Tương tự có \[\widehat {AFH} = {90^0}\] [ do\[HF\bot AC\]]
Và \[\widehat {BAC} = {90^0}\] [do Athuộc đường tròn đường kính BC]
Tứ giác AEHF có \[\widehat {EAF} = \widehat {AEH} = \widehat {AFH} = {90^0}\]nên là hình chữ nhật.
c] ABH vuông tại H, HE là đường cao nên \[AH^2= AE. AB\] [hệ thức lượng trong tam giác vuông]
ACH vuông tại H, HF là đường cao nên \[AH^2= AF. AC\] [hệ thức lượng trong tam giác vuông]
Do đó \[AE. AB = AF. AC\] [vì cùng bằng \[AH^2\] ]
d] Gọi M là giao điểm của AH và EF, ta có: \[ME = MF = MH = MA\] [do tứ giác AEHF là hình chữ nhật]
Xét MEI và MHI có:
\[ME = MH, IE = IH [=R]\], MI [cạnh chung]
Do đó \[MEI = MHI\] [c.c.c]
\[\Rightarrow \widehat {MEI} = \widehat {MHI}\]
mà \[\widehat {MHI} = {90^0}\] [do AD vuông góc với BC] nên \[\widehat {MEI} = {90^0}\]
Suy ra \[ME \bot EI\] tại E mà IE là bán kính đường tròn [I]
ME hay EF là tiếp tuyến của đường tròn [I]
Chứng minh tương tự có EF là tiếp tuyến của đường tròn [K]
Hoặc ta chứng minhEF là tiếp tuyến của đường tròn [K] như sau:
Vì \[MF=MH\] [cmt] nên tam giác MFH cân tại M, suy ra \[\widehat {MHF}=\widehat {MFH}\] [*] [tính chất]
Vì \[KH=KF\] [= bán kính đường tròn [K]] nên tam giác KFH cân tại K.
Suy ra \[\widehat {KHF}=\widehat {KFH}\] [**] [tính chất]
Cộng theo vế với vế của [*] và [**] ta có: \[\widehat {MHF}+\widehat {KHF}=\widehat {MFH}+\widehat {HFK}\]
Hay \[\widehat {KFM}=\widehat {MHK}=90^0\] [do \[AH\bot BC\]]
Suy ra \[MF\bot FK\] tại F mà KF là bán kính đường tròn [K] nênEF là tiếp tuyến của đường tròn [K]
e] Ta có \[EF = AH\] [vì AEHF là hình chữ nhật] mà \[AH AO \] [=bán kính đường tròn [O]=R]
Do đó \[EF R\], \[R\] không đổi. Dấu = xảy ra \[ H O\]
Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.
Cách 2 câu e:
Xét đường tròn [O] có BC là đường kính và AD là dây cung mà \[AD\bot BC\] tại H nên H là trung điểm của AD [định lý]. Suy ra \[AH=\dfrac{AD}2\]
Ta có \[EF = AH\] [vì AEHF là hình chữ nhật]
Suy ra \[EF=AH=\dfrac{AD}2\]
Do đó EF lớn nhất khi AD lớn nhất. Khi đó, dây AD lớn nhất là đường kính.
Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.