Đề bài - bài 41 trang 128 sgk toán 9 tập 1

d] Chứng minh 1 đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn thì ta chứng minh cho đường thẳng đó vuông góc với bán kính tại 1 điểm thuộc đường tròn.

Đề bài

Cho đường tròn [O] có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.

Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi [I], [K] theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.

a] Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: [I] và [O]; [K] và[O]; [I] và [K].

b] Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

c] Chứng minh đẳng thức \[AE.AB = AF.AC\]

d] Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn [I] và [K]

e] Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a] Vị trí tương đối của hai đường tròn [O;R] và [O';r] [\[R \ge r\] ]

- TH1: 2 đường tròn cắt nhau [có 2 điểm chung] khi và chỉ khi : R - r < OO' < R + r

- TH2: 2 đường tròn tiếp xúc nhau [1 điểm chung]

+] Tiếp xúc trong khi và chỉ khi OO' = R - r >0

+] Tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi OO' = R + r

b] Chứng minh tứ giác có ba góc vuông dựa vào kiến thức : Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm."

c] Dùng hệ thức lượng về chiều cao và độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền : \[{h^2} = b'.c'\]

d] Chứng minh 1 đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn thì ta chứng minh cho đường thẳng đó vuông góc với bán kính tại 1 điểm thuộc đường tròn.

e] Biểu diễn độ dài \[EF\] theo độ dài của \[AH\] rồi biện luận để tìm vị trí của dây đó vuông góc với \[BC\].

Lời giải chi tiết

a] \[OI = OB IB\] nên [I] tiếp xúc trong với [O]

\[OK = OC KC\] nên [K] tiếp xúc trong với [O]

\[IK = IH + KH\] nên [I] tiếp xúc ngoài với [K]

b] Vì \[HE \bot AB\] [gt]

\[ \Rightarrow \widehat {A{\rm{E}}H} = {90^0}\]

Tương tự có \[\widehat {AFH} = {90^0}\] [ do\[HF\bot AC\]]

Và \[\widehat {BAC} = {90^0}\] [do Athuộc đường tròn đường kính BC]

Tứ giác AEHF có \[\widehat {EAF} = \widehat {AEH} = \widehat {AFH} = {90^0}\]nên là hình chữ nhật.

c] ABH vuông tại H, HE là đường cao nên \[AH^2= AE. AB\] [hệ thức lượng trong tam giác vuông]

ACH vuông tại H, HF là đường cao nên \[AH^2= AF. AC\] [hệ thức lượng trong tam giác vuông]

Do đó \[AE. AB = AF. AC\] [vì cùng bằng \[AH^2\] ]

d] Gọi M là giao điểm của AH và EF, ta có: \[ME = MF = MH = MA\] [do tứ giác AEHF là hình chữ nhật]

Xét MEI và MHI có:

\[ME = MH, IE = IH [=R]\], MI [cạnh chung]

Do đó \[MEI = MHI\] [c.c.c]

\[\Rightarrow \widehat {MEI} = \widehat {MHI}\]

mà \[\widehat {MHI} = {90^0}\] [do AD vuông góc với BC] nên \[\widehat {MEI} = {90^0}\]

Suy ra \[ME \bot EI\] tại E mà IE là bán kính đường tròn [I]

ME hay EF là tiếp tuyến của đường tròn [I]

Chứng minh tương tự có EF là tiếp tuyến của đường tròn [K]

Hoặc ta chứng minhEF là tiếp tuyến của đường tròn [K] như sau:

Vì \[MF=MH\] [cmt] nên tam giác MFH cân tại M, suy ra \[\widehat {MHF}=\widehat {MFH}\] [*] [tính chất]

Vì \[KH=KF\] [= bán kính đường tròn [K]] nên tam giác KFH cân tại K.

Suy ra \[\widehat {KHF}=\widehat {KFH}\] [**] [tính chất]

Cộng theo vế với vế của [*] và [**] ta có: \[\widehat {MHF}+\widehat {KHF}=\widehat {MFH}+\widehat {HFK}\]

Hay \[\widehat {KFM}=\widehat {MHK}=90^0\] [do \[AH\bot BC\]]

Suy ra \[MF\bot FK\] tại F mà KF là bán kính đường tròn [K] nênEF là tiếp tuyến của đường tròn [K]

e] Ta có \[EF = AH\] [vì AEHF là hình chữ nhật] mà \[AH AO \] [=bán kính đường tròn [O]=R]

Do đó \[EF R\], \[R\] không đổi. Dấu = xảy ra \[ H O\]

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

Cách 2 câu e:

Xét đường tròn [O] có BC là đường kính và AD là dây cung mà \[AD\bot BC\] tại H nên H là trung điểm của AD [định lý]. Suy ra \[AH=\dfrac{AD}2\]

Ta có \[EF = AH\] [vì AEHF là hình chữ nhật]

Suy ra \[EF=AH=\dfrac{AD}2\]

Do đó EF lớn nhất khi AD lớn nhất. Khi đó, dây AD lớn nhất là đường kính.

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

Video liên quan

Chủ Đề