Đề bài
Một chiếc diều \[ABCD\] có \[AB = BC, AD = DC.\] Biết \[AB = 12cm,\widehat {ADC} = 40^\circ \]
\[\widehat {ABC} = 90^\circ \] [h.25]
Hãy tính:
a]Chiều dài cạnh \[AD;\]
b]Diện tích của chiếc diều.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông
+ Sử dụng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] thì \[AB=BC.\sin \widehat C, \]\[BC = \dfrac{{AB}}{{\sin \widehat C}}\]
+ Diện tích diều \[S= {S_{ABC}} + {S_{ADC}}\]
Lời giải chi tiết
a]Nối \[AC\] và kẻ \[DH \bot AC\]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \[ABC,\] ta có:
\[\eqalign{
& A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \cr
& = {12^2} + {12^2} = 144 + 144 = 288 \cr} \]
Suy ra: \[AC = 12\sqrt 2 \,[cm]\]
Ta có: tam giác \[ACD\] cân tại \[D\] mà \[DH \bot AC\] nên DH cũng là đường trung tuyến và đường phân giác của tam giác.
Suy ra: \[\displaystyle HA = HC = {{AC} \over 2} = 6\sqrt 2 \,[cm]\]
Và \[\displaystyle \widehat {ADH} = {1 \over 2}\widehat {ADC} = 20^\circ \]
Trong tam giác vuông \[ADH,\] ta có:
\[\eqalign{
& {\rm{AD = }}\displaystyle{{AH} \over {\sin \widehat {ADH}}} \cr
& = {{6\sqrt 2 } \over {\sin 20^\circ }} \approx 24,809\,[cm] \cr} \]
b] Ta có:
\[\displaystyle {S_{ABC}} = {1 \over 2}.AB.BC \]\[\displaystyle= {1 \over 2}.12.12 = 72\,[cm^2]\]
Trong tam giác vuông \[ADH,\] ta có:
\[\eqalign{
& DH = AH.\cot \widehat {ADH} \cr
& = 6\sqrt 2 .\cot 20^\circ \approx 23,313\,[cm] \cr} \]
Mặt khác:
\[\eqalign{
& {S_{ADC}} = {1 \over 2}.DH.AC \cr
& \approx {1 \over 2}.23,313.12\sqrt 2 = 197,817 cm^2 \cr} \]
Vậy diện tích diều là:
\[\eqalign{
& S= {S_{ABC}} + {S_{ADC}} \cr
& = 72 + 197,817 = 269,817 cm^2.\cr} \]