Đề bài
Cho hình thang cân \[ABCD\] \[[AB // CD].\] Gọi \[E,\, F,\, G,\, H\] theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \[AB,\, BC,\, CD,\, DA.\] Tứ giác \[EFGH\] là hình gì ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vận dụng kiến thức : Hình bình hành có cặp cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
Lời giải chi tiết
Trong \[ ABD\] ta có:
\[E\] là trung điểm của \[AB\] [gt]
\[H\] là trung điểm của \[AD\] [gt]
nên \[EH\] là đường trung bình của \[ ABD\]
\[ EH // BD\] và \[EH = \displaystyle {1 \over 2}BD\] [tính chất đường trung bình của tam giác] [1]
- Trong \[ CBD\] ta có:
\[F\] là trung điểm của \[BC\] [gt]
\[G\] là trung điểm của \[CD\] [gt]
nên \[FG\] là đường trung bình của \[ CBD\]
\[ FG // BD\] và \[FG = \displaystyle {1 \over 2}BD\] [tính chất đường trung bình của tam giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[EH // FG\] và \[EH = FG\]
Suy ra: Tứ giác \[EFGH\] là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau]
Trong \[ ABC\] ta có:
\[E\] là trung điểm của \[AB\] [gt]
\[F\] là trung điểm của \[BC\] [gt]
Nên \[EF\] là đường trung bình của\[ ABC\]
\[ EF = \displaystyle {1 \over 2}AC\] [tính chất đường trung bình của tam giác] [3]
\[AC = BD\] [tính chất hình thang cân] [4]
Từ [1], [3] và [4] suy ra: \[EH = EF\]
Vậy : Tứ giác \[EFGH\] là hình thoi.