Đề bài
Tứ giác \[ABCD\] có \[\widehat B = \widehat D = 90^\circ \].
a] Chứng minh rằng bốn điểm \[A, B, C, D\] cùng thuộc một đường tròn.
b] So sánh độ dài \[AC\] và \[BD.\] Nếu \[AC = BD\] thì tứ giác \[ABCD\] là hình gì?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để chứng minh các điểm thuộc cùng một đường tròn ta chứng minh các điểm này cách đều một điểm.
Lời giải chi tiết
a] Gọi \[M\] là trung điểm của \[AC.\]
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] có \[BM\] là đường trung tuyến nên:
\[BM =MA=MC= \dfrac{1}{2}AC\] [tính chất tam giác vuông]
Tam giác \[ACD\] vuông tại \[D\] có \[DM\] là đường trung tuyến nên:
\[DM =MA=MC= \dfrac{1 }{ 2}AC\] [tính chất tam giác vuông]
Suy ra: \[MA = MB = MC = MD.\]
Vậy bốn điểm \[A, B, C, D\] cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng \[\dfrac{1}{2}AC\].
b] \[BD\] là dây của đường tròn [M], còn \[AC\] là đường kính nên \[AC \ge BD\]
\[AC = BD\] khi và chỉ khi \[BD\] cũng là đường kính, khi đó \[ABCD\] là hình chữ nhật [vì có hai đường chéo AC và BD bằng nhau và giao nhau tại trung điểm M của mỗi đường].