Đề bài
Cho hình thang \[ABCD\] có hai cạnh bên là \[AD\] và \[BC\] bằng nhau, đường chéo \[AC\] vuông góc với cạnh bên \[BC\]. Biết \[AD = 5a\], \[AC = 12a.\]
a] Tính \[\displaystyle {{\sin B + c{\rm{osB}}} \over {\sin B - c{\rm{osB}}}}.\]
b]Tính chiều cao của hình thang \[ABCD\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Áp dụng định lí Py-ta-go và tỉ số lượng giác.
b] Chiều cao hình thang ABCD bằng chiều cao tam giác ABC, áp dụng tỉ số lượng giác, tìm chiều cao của tam giác ABC.
Lời giải chi tiết
a]Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
\[A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} = {[5a]^2} + {[12a]^2}\]\[ = 169{a^2}\]
Suy ra: \[AB = \sqrt {169{a^2}} = 13a\]
Xét tam giác vuông ABC, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
\[\sin \widehat B = \displaystyle {{AC} \over {AB}} = {{12a} \over {13a}} = {{12} \over {13}}\]
\[\cos \widehat B = \displaystyle{{BC} \over {AB}} = {{5a} \over {13a}} = {5 \over {13}}\]
Suy ra:
\[\displaystyle{{\sin \widehat B + \cos \widehat B} \over {\sin \widehat B - \cos \widehat B}} = \displaystyle{\displaystyle {{{12} \over {13}} + {5 \over {13}}} \over {\displaystyle {{12} \over {13}} - {5 \over {13}}}}\]\[ = \displaystyle{\displaystyle {{{17} \over {13}}} \over {\displaystyle {7 \over {13}}}} = {{17} \over {13}}.{{13} \over 7} = {{17} \over 7}\]
b] Kẻ \[CH \bot AB\]
Trong tam giác vuông \[BCH\], ta có:
\[CH = CB.\sin \widehat B = 5a.\displaystyle{{12} \over {13}} = {{60a} \over {13}}\]