- LG a
- LG b
Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm hai đa thức \[P\] và \[Q\] thỏa mãn đẳng thức:
LG a
\[\displaystyle {{\left[ {x + 2} \right]P} \over {x - 2}} = {{\left[ {x - 1} \right]Q} \over {{x^2} - 4}}\]
Phương pháp giải:
Hai phân thức\[ \dfrac{A}{B}\]và\[ \dfrac{C}{D}\]gọi là bằng nhau nếu \[AD = BC\].
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle {{\left[ {x + 2} \right]P} \over {x - 2}} = {{\left[ {x - 1} \right]Q} \over {{x^2} - 4}}\]
\[ \Rightarrow \left[ {x + 2} \right]P.\left[ {{x^2} - 4} \right]\]\[\, = \left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 1} \right]Q\]
\[ \Rightarrow \left[ {x + 2} \right]P.\left[ {{x^2} - 4} \right] \]\[\,= \left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 1} \right]Q\]
\[ \Rightarrow P.{\left[ {x + 2} \right]^2}\left[ {x - 2} \right] \]\[\,= Q\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 1} \right]\]
\[\displaystyle \Rightarrow P = \frac{{Q\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 1} \right]}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}\left[ {x - 2} \right]}} \]\[\, \displaystyle = \frac{{Q\left[ {x - 1} \right]}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}\]
Chọn \[Q = {\left[ {x + 2} \right]^2} = {x^2} + 4x + 4\] \[ \Rightarrow P = x - 1\]
LG b
\[\displaystyle {{\left[ {x + 2} \right]P} \over {{x^2} - 1}} = {{\left[ {x - 2} \right]Q} \over {{x^2} - 2x + 1}}\]
Phương pháp giải:
Hai phân thức\[ \dfrac{A}{B}\]và\[ \dfrac{C}{D}\]gọi là bằng nhau nếu \[AD = BC\].
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle {{\left[ {x + 2} \right]P} \over {{x^2} - 1}} = {{\left[ {x - 2} \right]Q} \over {{x^2} - 2x + 1}}\]
\[ \Rightarrow \left[ {x + 2} \right].P.\left[ {{x^2} - 2x + 1} \right]\]\[\, = \left[ {{x^2} - 1} \right]\left[ {x - 2} \right].Q\]
\[ \Rightarrow P.\left[ {x + 2} \right]{\left[ {x - 1} \right]^2} \]\[\,= Q.\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right]\]
\[ \displaystyle \Rightarrow P = \frac{{Q.\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right]}}{{\left[ {x + 2} \right]{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\]\[\, \displaystyle= \frac{{Q\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 2} \right]}}{{\left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 1} \right]}}\]
Chọn \[Q = \left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 1} \right] = {x^2} + x - 2\]
\[ \Rightarrow P = \left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 1} \right] = {x^2} - x - 2\]
Chú ý:Bài toán có nhiều đáp án phụ thuộc vào cách chọn đa thức \[Q\].