Đề bài
1] Kim tự tháp Kê-ốp [Thế kỉ 25 trước Công nguyên] là một hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng \[233m\], chiều cao hình chóp \[146,5m.\]
a. Độ dài cạnh bên là bao nhiêu?
b. Tính diện tích xung quanh của hình chóp.
c. Tính thể tích hình chóp.
2] Kim tự tháp Lu-vrơ [Louvre] [Xây dựng vào năm 1988].
Người ta làm mô hình một kim tự tháp ở cổng vào của bảo tàng Lu-vrơ [Pháp]. Mô hình có dạng chóp đều chiều cao \[21m,\] độ dài cạnh đáy là \[34m.\]
a. Cạnh bên của hình chóp là bao nhiêu?
b. Tính thể tích hình chóp.
c. Tính tổng diện tích các tấm kính để phủ lên hình chóp này \[[{S_{xq}}]\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Thể tích của hình chóp đều bằng một phần ba diện tích mặt đáy nhân với chiều cao.
\[V = \dfrac{1}{3} .S.h\]
Trong đó: \[S\] là diện tích đáy, \[h\] là chiều cao.
- Định lí Pytago trong tam giác vuông: Bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông.
- Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn.
\[{S_{xq}} = pd\]
Trong đó: \[p\] là nửa chu vi đáy, \[d\] là trung đoạn của hình chóp đều.
Lời giải chi tiết
1] Giả sử kim tự tháp Kê-ốplà hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD.\]
a] Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[AOB\], ta có:
\[O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\]
\[ \Rightarrow 2.O{A^2} = A{B^2}\]
\[ \displaystyle \Rightarrow O{A^2} = {{A{B^2}} \over 2} =\frac{{{{233}^2}}}{2}= 27144,5\]
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[SOA\], ta có:
\[ S{A^2} = S{O^2} + O{A^2}\]\[\, = 146,{5^2} + 27144,{5} = 48606,75\]
\[ \Rightarrow SA = \sqrt {48606,75} \approx 220,5\;[m]. \]
b] Kẻ \[SK BC.\]
Vì tam giác \[SBC\] cân tại \[S\] nên \[SK\] vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy \[BC\].
Ta có \[\displaystyle BK = KC = {1 \over 2}BC =\dfrac{{233}}{2}= 116,5\]\[\,[m]\]
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[SKB\], ta có:
\[S{B^2} = S{K^2} + B{K^2}\]
\[ \RightarrowS{K^2} = S{B^2} - B{K^2} \]\[\, = 48606,75 -116,5^2 = 35034,5\]
\[ \Rightarrow SK = \sqrt {35034,5} \;[m] \]
Diện tích xung quanh của kim tự tháp là:
\[S_{xq} = \left[ {233.2} \right].\sqrt {35034,5} \approx 87223,6\]\[\;[{m^2}]\]
c] Thể tích hình chóp là:
\[V = \displaystyle{1 \over 3}S_{ABCD}.h = \displaystyle{1 \over 3}.233^2.146,5\]\[\, = 2651112,8\;[{m^3}]\]
2] Giả sử kim tự tháp Lu-vrơ [Louvre]là hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD.\]
a] Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[AOB\], ta có:
\[O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\]
\[ \Rightarrow2.O{A^2} = A{B^2}\]
\[\displaystyle\RightarrowO{A^2} = {{A{B^2}} \over 2} =\frac{{{{34}^2}}}{2}= 578\]
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[SOA\], ta có:
\[ S{A^2} = S{O^2} + O{A^2}\]\[\, = 21{^2} + 578 = 1019 \]
\[ \RightarrowSA = \sqrt {1019} \approx 31,9\;[m]. \]
b] Thể tích hình chóp là:
\[V =\displaystyle{1 \over 3}S.h =\displaystyle{1 \over 3}.34^2.21\]\[\, = 8092\;[{m^3}]\]
c] Kẻ \[SK BC.\]
Vì tam giác \[SBC\] cân tại \[S\] nên \[SK\] vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy \[BC\].
Ta có \[\displaystyleBK = KC = {1 \over 2}BC =\dfrac{{34}}{2}= 17\]\[\,[m]\]
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[SKB\], ta có:
\[S{B^2} = S{K^2} + B{K^2}\]
\[ \RightarrowS{K^2} = S{B^2} - B{K^2} \]\[\, = 1019 - 17^2 = 730\]
\[ \RightarrowSK = \sqrt {730} \;[m] \]
Diện tích xung quanh của kim tự tháp là:
\[S_{xq} = \left[ {34.2} \right].\sqrt {730} \approx 1837,3\]\[\;[{m^2}]\]