Đề bài
Tam giác vuông \[ABC\] có \[\widehat A = 90^\circ \] và đường cao \[AH.\] Từ điểm \[H\] hạ đường \[HK\] vuông góc với \[AC\] [h.27].
a] Hỏi trong hình đã cho có bao nhiêu tam giác đồng dạng với nhau?
b] Hãy viết các cặp tam giác đồng dạng với nhau theo thứ tự các đỉnh tương ứng và viết tỉ lệ thức giữa các cặp cạnh tương ứng của chúng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
- trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
Lời giải chi tiết
a]
\[ABC\] vuông tại \[A\] nên\[\widehat B + \widehat C = {90^o}\] [1]
\[ HBA\] vuông tại \[H\] nên\[\widehat B + \widehat {{A_1}} = {90^o}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra\[\widehat C = \widehat {{A_1}}\] [3]
\[ HAC\] vuông tại \[H\] nên \[\widehat C + \widehat {{A_2}} = {90^o}\] [4]
Từ [1] và [4] suy ra\[\widehat {{A_2}} = \widehat B\] [5]
\[ KAH\] vuông tại \[K\] nên\[\widehat {{A_2}} + \widehat {{H_2}} = {90^o}\] [6]
Từ [1], [5] và [6] suy ra\[\widehat {{H_2}} = \widehat C\]
\[ KHC\] vuông tại \[K\] nên\[\widehat {{H_1}} + \widehat C = {90^o}\] [7]
Từ [1] và [7] suy ra\[\widehat {{H_1}} = \widehat B\]
Do đó hình có \[5\] tam giác đồng dạng với nhau theo từng đôi một, đó là: \[ABC; HBA; HAC; KAH;\]\[\, KHC.\]
b]
- Xét \[ ABC\] và \[ HBA\] có:
+] \[\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = {90^o}\]
+]\[\widehat B\] chung
\[\Rightarrow ABC\] đồng dạng \[ HBA\] [g.g]
\[\displaystyle \Rightarrow {{AB} \over {HB}} = {{AC} \over {HA}} = {{BC} \over {BA}}\]
- Xét\[ ABC\] và \[ HAC\] có:
+]\[\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = {90^o}\]
+]\[\widehat C\] chung
\[\Rightarrow ABC\] đồng dạng \[ HAC \] [g.g]
\[\displaystyle\Rightarrow {{AB} \over {HA}} = {{AC} \over {HC}} = {{BC} \over {AC}}\]
- Xét \[ ABC\] và \[ KHC\] có:
+]\[\widehat {BAC} = \widehat {HKC} = {90^o}\]
+]\[\widehat C\] chung
\[\Rightarrow ABC\] đồng dạng \[ KHC\] [g.g]
\[\displaystyle\Rightarrow {{AB} \over {KH}} = {{AC} \over {KC}} = {{BC} \over {HC}}\]
- Xét\[ ABC\] và \[ KAH\] có:
+]\[\widehat {BAC} = \widehat {AKH} = {90^o}\]
+]\[\widehat B = \widehat {{A_2}}\] [chứng minh trên]
\[\Rightarrow ABC\] đồng dạng \[ KAH\] [g.g]
\[\displaystyle\Rightarrow{{AB} \over {KA}} = {{AC} \over {KH}} = {{BC} \over {AH}}\]
Do đó\[ABC; HBA; HAC; KAH;\]\[\, KHC\]đồng dạng với nhau từng đôi một.
+] \[ HBA\] đồng dạng \[ HAC\]
\[\displaystyle\Rightarrow {{HB} \over {HA}} = {{HA} \over {HC}} = {{BA} \over {AC}}\]
+] \[ HBA\] đồng dạng \[ KHC\]
\[\displaystyle\Rightarrow {{HB} \over {KH}} = {{HA} \over {KC}} = {{BA} \over {HC}}\]
+] \[ HBA\] đồng dạng \[ KAH\]
\[\displaystyle\Rightarrow{{HB} \over {KA}} = {{HA} \over {KH}} = {{BA} \over {AH}}\]
+] \[ HAC\] đồng dạng \[ KHC\]
\[\displaystyle\Rightarrow {{HA} \over {KH}} = {{HC} \over {KC}} = {{AC} \over {HC}}\]
+] \[ HAC\] đồng dạng \[ KAH\]
\[\displaystyle\Rightarrow {{HA} \over {KA}} = {{HC} \over {KH}} = {{AC} \over {AH}}\]
+] \[ KHC\] đồng dạng \[ KAH\]
\[\displaystyle\Rightarrow {{KH} \over {KA}} = {{KC} \over {KH}} = {{HC} \over {AH}}\]