Đề bài
Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và BC. Vẽ đường cao AH. Chứng minh:
a] A và H đối xứng nhau qua DE.
b] Tứ giác DEFH là hình thang cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳngddnếuddlà đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+] Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
+] Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Lời giải chi tiết
a] \[\Delta AHB\] vuông tại H có HD là trung tuyến ứng với cạnh huyền
\[ \Rightarrow HD = AD=\dfrac{AB}2\]
Suy ra D thuộc đường trung trực của AH
\[\Delta AHC\] vuông tại H có HE là trung tuyến ứng với cạnh huyềnnên \[HE = AE=\dfrac{AC}2\]
Suy ra E thuộc đường trung trực của AH
Do đó DE là đường trung trực của AH
Vậy A và H đối xứng nhau qua DE.
b] VìD, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và BC
Nên DE là đường trung bình của \[\Delta ABC\] nên \[DE//BC.\]
Và DF là đường trung bình của \[\Delta ABC\] nên \[DF//AC,\]\[DF = \dfrac{1 }{ 2}AC.\]
Vì\[DE//BC\] [cmt] nêntứ giác DEFH là hình thang.
Lại có \[HE = \dfrac{1 }{ 2}AC \] [cmt]
\[\Rightarrow DF = HE\left[ { = \dfrac{1 }{ 2}AC} \right]\]
Vậy tứ giác DEFH là hình thang cân.