Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Cho mặt cầu \[[S]\] tâm \[O\] bán kính \[r\]. Hình nón có đường tròn đáy \[[C]\] và đỉnh \[I\] đều thuộc \[[S]\] được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu \[[S]\]. Gọi \[h\] là chiều cao của hình nón đó.
LG a
Tính thể tích của hình nón theo \[r\] và \[h\].
Phương pháp giải:
Thể tích hình nón\[V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\], trong đó \[R;h\] lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối nón.
Gọi chiều cao của khối nón bằng \[h\], sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính bán kính đáy của hình nón theo \[h\] và \[r\].
Lời giải chi tiết:
Cắt hình vẽ bằng một mặt phẳng qua trục hình nón, ta có hình vẽ trên, trong đó \[AH\] là bán kính đáy hình nón, \[SH\] là chiều cao hình nón \[SH = h\], \[SS'\] là đường kính hình cầu \[SS' = 2r\].
Tam giác \[SAS'\] vuông tại đỉnh \[A\], và \[AH\] là đường cao nên:
\[AH^2= SH.S'H\] \[\Rightarrow AH^2= h[2r - h]\]
\[V\]nón= \[{1 \over 3}\pi .A{H^2}.SH \Rightarrow V\]nón= \[{1 \over 3}\pi {h^2}[2r - h]\]
LG b
Xác định \[h\] để thể tích của hình nón là lớn nhất.
Phương pháp giải:
Tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình nón vừa tìm được ở ý a], sử dụng BĐT Cauchy:\[abc \le {\left[ {\frac{{a + b + c}}{3}} \right]^3}\], dấu bằng xảy ra\[ \Leftrightarrow a = b = c.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[V\]nónmax \[\Leftrightarrow \] \[2V\]nón= \[{\pi \over 3}.{h^2}[4r - 2h]\]lớn nhất.
Ta có \[h^2[4r - 2h] = h.h.[4r - 2h]\]\[\le {\left[ {{{h + h + 4r - 2h} \over 3}} \right]^3} = {\left[ {{{4r} \over 3}} \right]^3}\]
Dấu bằng xảy ra thì \[V\]nónlớn nhất.
Khi đó \[h = 4r - 2h\] \[\Rightarrow h = {4 \over 3}r\]
và \[V\]nónmax = \[{\pi \over 6}{\left[ {{{4r} \over 3}} \right]^3} = {{32} \over {81}}\pi {r^3}\]
Cách khác: