Video hướng dẫn giải - bài 3 trang 99 sgk hình học 12

Cắt hình vẽ bằng một mặt phẳng qua trục hình nón, ta có hình vẽ trên, trong đó \[AH\] là bán kính đáy hình nón, \[SH\] là chiều cao hình nón \[SH = h\], \[SS'\] là đường kính hình cầu \[SS' = 2r\].

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
  • LG a
  • LG b

Cho mặt cầu \[[S]\] tâm \[O\] bán kính \[r\]. Hình nón có đường tròn đáy \[[C]\] và đỉnh \[I\] đều thuộc \[[S]\] được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu \[[S]\]. Gọi \[h\] là chiều cao của hình nón đó.

LG a

Tính thể tích của hình nón theo \[r\] và \[h\].

Phương pháp giải:

Thể tích hình nón\[V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\], trong đó \[R;h\] lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối nón.

Gọi chiều cao của khối nón bằng \[h\], sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính bán kính đáy của hình nón theo \[h\] và \[r\].

Lời giải chi tiết:

Cắt hình vẽ bằng một mặt phẳng qua trục hình nón, ta có hình vẽ trên, trong đó \[AH\] là bán kính đáy hình nón, \[SH\] là chiều cao hình nón \[SH = h\], \[SS'\] là đường kính hình cầu \[SS' = 2r\].

Tam giác \[SAS'\] vuông tại đỉnh \[A\], và \[AH\] là đường cao nên:

\[AH^2= SH.S'H\] \[\Rightarrow AH^2= h[2r - h]\]

\[V\]nón= \[{1 \over 3}\pi .A{H^2}.SH \Rightarrow V\]nón= \[{1 \over 3}\pi {h^2}[2r - h]\]

LG b

Xác định \[h\] để thể tích của hình nón là lớn nhất.

Phương pháp giải:

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình nón vừa tìm được ở ý a], sử dụng BĐT Cauchy:\[abc \le {\left[ {\frac{{a + b + c}}{3}} \right]^3}\], dấu bằng xảy ra\[ \Leftrightarrow a = b = c.\]

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\[V\]nónmax \[\Leftrightarrow \] \[2V\]nón= \[{\pi \over 3}.{h^2}[4r - 2h]\]lớn nhất.

Ta có \[h^2[4r - 2h] = h.h.[4r - 2h]\]\[\le {\left[ {{{h + h + 4r - 2h} \over 3}} \right]^3} = {\left[ {{{4r} \over 3}} \right]^3}\]

Dấu bằng xảy ra thì \[V\]nónlớn nhất.

Khi đó \[h = 4r - 2h\] \[\Rightarrow h = {4 \over 3}r\]

và \[V\]nónmax = \[{\pi \over 6}{\left[ {{{4r} \over 3}} \right]^3} = {{32} \over {81}}\pi {r^3}\]

Cách khác:

Video liên quan

Chủ Đề