Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Cho tam giác đều \[ABC\] có cạnh bằng \[a\]. Tính:
LG a
\[|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} |\]
Phương pháp giải:
Kẻ đường cao AH suy ra H là trung điểm BC.
Tính \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}\] theo \[\overrightarrow {AH} \] dựa vào tính chất trung điểm.
Tính AH dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
[Chú ý: cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối]
Lời giải chi tiết:
Hạ \[AH\bot BC\] do tam giác \[ABC\] đều nên \[H\] là trung điểm của \[BC\].
Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AH} \cr
& \Rightarrow |\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} | = 2|\overrightarrow {AH} | = 2AH \cr} \]
Xét tam giác ABH vuông tại H có:
AB=a, \[\widehat {ABH} = {60^0}\] nên \[AH = AB\sin {60^0} = a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
\[ \Rightarrow |\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} | =2AH\] \[=2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}= a\sqrt 3 \]
Cách khác:
Vẽ hình bình hành ABDC, gọi H là giao điểm của AD và BC.
Ta có:
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD\end{array}\]
+ Hình bình hành ABDC có AB = AC ABDC là hình thoi AD BC tại H.
+ H là trung điểm BC BH = BC/2 = a/2.
+ ΔABH vuông tại H nên:
\[AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} \] \[ = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
+ H là trung điểm AD AD = 2. AH = a3.
Vậy \[\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3 \].
LG b
\[|\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} |\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:\[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} =\overrightarrow {CB}\]
Suy ra \[|\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {CB} | = CB = a\]