- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải và biện luận các hệ phương trình theo tham số a :
LG a
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ax + 2y = 1}\\{x + \left[ {a - 1} \right]y = a}\end{array}} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[D = \left[ {{\rm{a}} + 1} \right]\left[ {{\rm{a}} - 2} \right];\] \[{D_x} = - \left[ {{\rm{a}} + 1} \right];\] \[{D_y} = \left[ {{\rm{a}} - 1} \right]\left[ {{\rm{a}} + 1} \right].\]
Với a -1 và a 2 thì D 0, hệ có nghiệm duy nhất \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{ - 1}}{{a - 2}}}\\{y = \dfrac{{a - 1}}{{a - 2}}}\end{array}} \right.\]
Với a = -1, hệ đã cho tương đương với phương trình x + 2y = 1 nên có vô số nghiệm \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R}\\{y = \dfrac{{1 + {\rm{x}}}}{2}}\end{array}} \right.\]
Với a = 2, hệ trở thành \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{\rm{x}} + 2y = 1}\\{x + y = 2}\end{array}} \right.\] nên vô nghiệm.
LG b
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {a - 2} \right]x + \left[ {a - 4} \right]y = 2}\\{\left[ {a + 1} \right]x + \left[ {3a + 2} \right]y = - 1}\end{array}} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Với a 0 và \[a \ne \dfrac{1}{2},\] hệ có nghiệm duy nhất \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{7}{{2{\rm{a}} - 1}}}\\{y = \dfrac{{ - 3}}{{2{\rm{a}} - 1}}}\end{array}} \right.\]
Với a = 0, hệ có vô số nghiệm \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R}\\{y = \dfrac{{ - 1 - {\rm{x}}}}{2}}\end{array}} \right.\]
Với \[a = \dfrac{1}{2},\] hệ vô nghiệm
LG c
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {a - 1} \right]x + \left[ {2a - 3} \right]y = a}\\{\left[ {a + 1} \right]x + 3y = 6}\end{array}} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Với a 0, a 2, hệ có nghiệm duy nhất \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{9}{{2{\rm{a}}}}}\\{y = \dfrac{{a - 3}}{{2{\rm{a}}}}}\end{array}} \right.\]
Với a = 0, hệ vô nghiệm.
Với a = 2, hệ vô số nghiệm \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R}\\{y = 2 - x}\end{array}} \right.\]
LG d
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{3\left[ {x + y} \right]}}{{x - y}} = a}\\{\dfrac{{2x - y - a}}{{y - x}} = 1}\end{array}} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện : x y. Biến đổi hệ phương trình về dạng :
\[\left[ I \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {3 - a} \right]x + \left[ {3 + a} \right]y = 0}\\{3{\rm{x}} - 2y = a}\end{array}} \right.\]
Ta có: \[D = - a - 15;\] \[{D_x} = - a\left[ {3 + a} \right];\] \[{D_y} = a\left[ {3 - a} \right]\]
Với a -15 thì D 0, hệ [I] có nghiệm duy nhất \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{a\left[ {3 + a} \right]}}{{a + 15}}}\\{y = \dfrac{{a\left[ {{\rm{a}} - 3} \right]}}{{a + 15}}}\end{array}} \right.\]
Nhận thấy rằng \[\dfrac{{a\left[ {3 + a} \right]}}{{a + 15}} = \dfrac{{a\left[ {{\rm{a}} - 3} \right]}}{{a + 15}} \Leftrightarrow {\rm{a}} = 0\]
Nên khi a 0 thì x y, khi đó nghiệm của [I] cũng là nghiệm của hệ đã cho.
Với a = -15 thì \[D = 0;{D_x} \ne 0;{D_y} \ne 0,\] hệ [I] vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm.
Kết luận. Với a 0 và a -15, hệ có nghiệm duy nhất :
\[\left[ {{\rm{x}};y} \right] = \left[ {\dfrac{{a\left[ {3 + a} \right]}}{{a + 15}};\dfrac{{a\left[ {{\rm{a}} - 3} \right]}}{{a + 15}}} \right]\]
Với a = 0 hoặc a = -15, hệ vô nghiệm.