Đề bài
Tìm tất cả các giá trị của a để hiệu hai nghiệm của phương trình sau bằng 1
\[2{x^2} - \left[ {a + 1} \right]x + a + 3 = 0\]
Lời giải chi tiết
\[a \in \left\{ { - 3;9} \right\}.\] Gợi ý. Điều kiện để phương trình có nghiệm là
\[\Delta = {\left[ {a + 1} \right]^2} - 8\left[ {a + 3} \right] \ge 0\]
\[\Leftrightarrow {a^2} - 6a - 23 \ge 0.\] [*]
Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là \[{x_1},{x_2}\] [giả sử \[{x_2} > {x_1}\]]
Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \dfrac{{a + 1}}{2}}\\{{x_1}{x_2} = \dfrac{{a + 3}}{2}.}\end{array}} \right.\]
Do \[{x_2} - {x_1} = 1\] nên \[{\left[ {{x_2} - {x_1}} \right]^2} = {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 4{x_1}{x_2} = 1,\] suy ra
\[\dfrac{{{{\left[ {a + 1} \right]}^2}}}{4} - 2\left[ {a + 3} \right] = 1\]
\[\Leftrightarrow {a^2} - 6a - 27 = 0\]
\[\Leftrightarrow a = 9\] hoặc \[a = - 3\]
Rõ ràng cả hai giá trị này đều thỏa mãn [*] vì \[{a^2} - 6a - 23 = 4 > 0.\]