Đề bài
Cho tam giác đều \[ABC\] và điểm \[M\] bất kì nằm trong tam giác đó. Đường thẳng đi qua điểm \[M\] và vuông góc với \[BC\] tại điểm \[H.\] Đường thẳng đi qua điểm \[M\] và vuông góc với \[CA\] tại điểm \[K.\] Đường thẳng đi qua điểm \[M\] và vuông góc với \[AB\] tại điểm \[T.\]
Chứng minh rằng \[MH+MK+MT\] không phụ thuộc vào vị trí của điểm \[M.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gợi ý: Tổng diện tích của tam giác \[MBC,\,MCA,\,MAB\] bằng diện tích của tam giác \[ABC\]
Lời giải chi tiết
Giả sử \[ ABC\] đều có cạnh bằng \[a,\] kẻ đường cao \[AD,\] đặt \[AD = h\] không đổi.
Ta có:
\[\begin{array}{l}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}ah\\{S_{MAB}} = \dfrac{1}{2}MT.a\\{S_{MAC}} = \dfrac{1}{2}MK.a\\{S_{MBC}} = \dfrac{1}{2}MH.a\\{S_{ABC}} = {S_{MAB}} + {S_{MAC}} + {S_{MBC}}\\\dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2}MT.a + \dfrac{1}{2}MK.a \\+ \dfrac{1}{2}MH.a\\\dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2}a[MT + MK + MH]\\ \Rightarrow MT + MK + MH = h\end{array}\]
\[ \Rightarrow MT + MK + MH = h\] không đổi
Vậy tổng \[MT + MK + MH\] không phụ thuộc vào điểm \[M.\]